Angaben zu den Zahlenmengen richtig?
Hallo liebe Gemeinschaft,
sind diese Angaben zu den Zahlenmengen richtig? Bitte korrigiert mich, wenn etwas nicht stimmen sollte.
Natürliche Zahlen (ohne Null): 1; 2; 3; 4 ... (hierzu zählen nur ganze Zahlen über 0)
Ganze Zahlen: ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ... (hierzu zählen auch die negativen Zahlen mit 0)
Rationale Zahlen: Dezimalzahlen und Brüche, die "abbrechbar" sind, (nicht unendlich lang und nicht periodisch, können auch negativ sein --> z. B. 0,5; -4,75 Hier hab ich mal gelesen, dass bei einem Bruch der Nenner eine ganze Zahl sein muss und der Nenner eine natürliche Zahl irrationale Zahl: eine Zahl, die nicht "abbrechbar" oder periodisch ist, wie z. B. Wurzel aus 2 oder Kreiszahl Pi
Reelle Zahlen: Alle Punkte auf der Zahlengerade: Kann das jede beliebige Zahl sein!? Egal ob natürlich, ganz, rational, irrational
--> Werden die Zahlen in der Zahlenmenge - von den natürlichen Zahlen bis hin zu den reellen Zahlen - mehr?
Danke für die Antworten.
5 Antworten
Natürliche Zahlen (ohne Null): 1; 2; 3; 4 ... (hierzu zählen nur ganze Zahlen über 0)
Ok.
Ganze Zahlen: ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ... (hierzu zählen auch die negativen Zahlen mit 0)
Ok.
Rationale Zahlen: Dezimalzahlen und Brüche, die "abbrechbar" sind,
Das ist nicht die Definition:
Hier hab ich mal gelesen, dass bei einem Bruch der Nenner eine ganze Zahl sein muss und der Nenner eine natürliche Zahl
Das passt schon eher.
Richtig muss es heißen: Ein rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner geschrieben werden kann.
irrationale Zahl: eine Zahl, die nicht "abbrechbar" oder periodisch ist,
Das ist nicht die Defintion. "Irrational" ist doch einfach die Verneinung von rational. Irrationale Zahlen sind (reelle) Zahlen, die nicht rational sind, also nicht als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner.
Es ist ein Fehler den viele Schüler (wahrscheinlich die meisten) machen, sich diese Nachkommastellen-Story als "Definition" zu merken. Mit den Nachkommastellen, das stimmt zwar auch, ist aber nicht die Definition. Es ist wichtig, sich das richtig herum zu merken, sonst entstehen Verständnisprobleme!
Rest ist wieder ok.
Natürliche Zahlen: richtig
Ganze Zahlen: richtig
Rationale Zahlen: falsch!
Rationale Zahlen, sind alle Zahlen die durch einen Bruch aus Ganzen Zahlen (aber im Nenner keine Null) darstellbar sind. Das bedeutet, daß sie als Dezimalzahl auch unendlich viele Stellen und auch periodisch sein können (Beispiel 1/3)
Reelle Zahlen:: richtig - nicht-rationale Zahlen, die aber reell sind, sind z.B. irrationale algebraische Zahlen und transzendente Zahlen; aber die hier genauer zu definieren führt jetzt etwas zu weit.
OK, Danke. Welche Zahlenmenge erweitert dann die Rationalen Zahlen auf die Reellen Zahlen, wenn Rationale Zahlen positve oder negative Dezimalzahlen bzw. positive oder negative Brüche, die periodisch oder nicht periodisch sind, sein können?
"Nur" die irrationalen Zahlen?
Ja, "nur" die irrationalen Zahlen.
Die sind einfach so definiert: alle Zahlen die nicht in Q liegen.
Welche Eigenschaften sie haben wird in der Definition nicht bezeichnet, aber weitere Untersuchung zeigen dann, daß man sie in irrationale algebraische Zahlen und transzendente Zahlen gliedern kann. Aber wie schon gesagt, das ist ein viel komplizierteres Kapitel
Laut Definition sind Rationale Zahlen die Menge aller endlichen Bruchzahlen bzw. Dezimalzahlen. Aber periodische Zahlen (z. B. 1/3) sind doch nicht endlich, oder?
Vielleicht bitte nochmal kurz erläutern. Danke
Nein Deine Definition ist falsch: Du vermengst Definition und Eigenschaft.
Definition: Rationale Zahlen sind alle Zahlen die durch einen Bruch aus Ganzen Zahlen (aber im Nenner keine Null) darstellbar sind. - fertig
Wenn man dann die Eigenschaften untersucht, dann entdeckt man die sogenannte "Dezimalbruchentwicklung"; Alle Reellen Zahlen lassen sich einer Dezimalbruchentwicklung zuordnen, d.h. man kann jeder reellen Zahl eine Folge von Ziffern zuordnen. Jetzt zu den Rationalen Zahlen: Bei denen ist die Dezimalbruchentwicklung endlich (Du schreibst "bricht ab") oder sie ist unendlich-periodisch.
Die genannte 1/3 gehört zu der zweiten Gruppe - unendlich-periodisch
Wäre dann z. B. -30/10 (= Minus Dreißig Zehntel) auch eine Rationale Zahl. Es ist ja zunächst ein Bruch... ... der sich aber auf letztendlich auf eine ganze Zahl kürzen lässt.
Was ist damit?
Wäre dann z. B. -30/10 (= Minus Dreißig Zehntel) auch eine Rationale Zahl. Es ist ja zunächst ein Bruch... ... der sich aber auf letztendlich auf eine ganze Zahl kürzen lässt.
Was ist damit?
Wäre dann z. B. -30/10 (= Minus Dreißig Zehntel) auch eine Rationale Zahl. Es ist ja zunächst ein Bruch... ... der sich aber auf letztendlich auf eine ganze Zahl (-3) kürzen lässt.
Was ist damit?
Sorry, ist wohl versehentlich zu oft gesendet worden.
Ja, richtig: Nach Definition ist das auch eine Rationale Zahl.
Wie ich geschrieben habe, ist N eine Teilmenge von Z und Z eine Teilmenge von Q. D.H. also alle Natürlichen Zahlen & alle Ganzen Zahlen sind gleichzeitig auch Rationale Zahlen.
noch zu Deiner Frage: "--> Werden die Zahlen in der Zahlenmenge - von den natürlichen Zahlen bis hin zu den reellen Zahlen - mehr? "
Alle gennanten Zahlenmengen sind unendlich groß, somit läßt sich keine Aussage über "mehr" oder "größer" machen. Interessanterweise ist die Menge der Rationalen Zahlen abzählbar. D.H. man kann sie systematisch anordnen und durchzählen; mathematisch bedeutet dies, daß man eine eineindeutige Abbildung von N zu Q machen kann. Da es zwischen zwei rationalen Zahlen immer unendlich viele weitere rationale Zahlen gibt ist das eigentlich nicht vorstellbar, aber der Mathematiker kann es beweisen.
und schon wieder ein Zusatz:
Über größer (im Sinne von Anzahl größer) kann man nichts sagen, da sie unendlich sind, aber es gilt die Teilmengenbeziehung
N teilmenge von Z teilmenge von Q teilmenge von R
Die werden praktisch untergeordnet und gehören auch zu dem nächst gröseren
periodische Z gehören zu den rationalen Z
ja das ist soweit richtig. Also die Natürlichen Zahlen (N) sind die Zahlen 1, 2, 3... Wenn man die ausdrücklich dazu nimmt, auch die 0. Wenn du daraus die Menge der Ganzen Zahlen (Z) machst, kommen die Zahlen -1, -2, -3 dazu. Rationale Zahlen (Q) sind alle Brüche und Dezimalzahlen mit endlich vielen zahlen hinter dem Komma oder die periodisich sind. neben den rationalen zahlen gibt es die Irrationalen Zahlen. Das sind Zahlen mit unedlich vielen Stellen hinter dem Komma, die nicht periodisch sind. Und die Menge der Rationalen Zahlen vereinigt mit der Menge der Irrationalen Zahlen ergibt die Menge der Rellen Zahlen (R). Das hast du im Prinzip genauso erklärt, ich habs mal versucht, etwas strukturiert zu erklären. Zeichne dir am besten mal Mengenkreise nach meiner Beschrieung, dann hast du es schön bild ich vor Augen.
nochmal eine Ergänzung zu Rationalen Zahlen
Habe es knapp falsch formuliert: richtig ist "....daß sie als Dezimalzahl auch unendlich viele Stellen die periodisch sind haben können" kurz: Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahl oder ans unendliche periodische Dezimalzahl darstellen.