Praktische Beispiele für fallende Exponentialfunktion y = -e^x?
Hat jemand eine praktische Anwendung für eine fallende Exponentialfunktion, also mit zunehmend negativer Steigung, also y = -e^x.
Grüne Kurve ganz rechts in den ersten beiden Grafiken hier: https://de.serlo.org/mathe/funktionen/wichtige-funktionstypen-ihre-eigenschaften/exponential-logarithmusfunktion/exponentialfunktion
Zu den andern hab ich beispiele (Wachstum, Schrumpfung/Abkühlung, Erwärmung)
4 Antworten
Wachstumsgeschwindigkeit (= negative Schrumpfungsgeschwindigkeit) in der Nähe eines instabilen Gleichgewichts
Für die meisten Gleichgewichte stimmt das vermutlich.
Nehmen wir mal einen neuen (tödlichen) Parasiten, der sich (näherungsweise) exponentiell ausbreitet. Der dezimiert seinen Wirt entsprechend (näherungsweise) exponentiell.
Die Temperatur eines Gegenstandes gleicht sich im Sinn einer abklindenden e-Funktion an die der Umgebung an.
Ähnliches gilt für Ausgleichsvorgänge ganz verschiedener Art.
Die Funktion aus der Frage gleicht sich nicht an etwas an, sondern wächst ins minus unendliche!
Dasselbe wie e^x bei Kopfstand
Nicht für die Funktion ohne irgendwas dabei. Weil es in der Natur kaum Messgrößen gibt, die negativ sind.
Wenn Du aber ein Bakterienwachstum der Form (k1 * e^t ) hast, und diese Bakterien beim Wachsen einen Nährstoff verbrauchen, dann bekommst Du für den Verlauf der Nährstoffkonzentration
c0 - (k2 * e^t )
Kurz, die nach minus unendlich strebende Funktion hast Du immer dann, wenn die nach plus unendlich strebende Variante von etwas abgezogen wird.
Häufiger allerdings ist eine andere fallende Form (die hat Joochen in seiner Antwort gemeint): y = y0 * e ^( -k * t)
Beispiel dafür wäre der radiaoaktive Zerfall. allgemein jede Form der Abnahme, bei der die Abnahmegeschwindigkeit von der noch vorhandenen Restmenge abhält. Auch die Spannung beim (Ent-)laden eines Kondensators passt in dieses Schema.
e ^-x kenn ich natürlich zur Genüge (Zerfälle, Entladungen. Abkühlungen usw.)
Und ja, der Ressourcen-Vorrat sinkt ja genau so schnell, wie die Verbraucher zunehmen. Allerdings folgt jedes natürliche Wachstum dem logistischen Wachstum in der Form e^x / (1+e^x).
Auch für die unendliche Wachstumsfunktion gibt es ja keine natürlichen Beispiele, und wohl auch nicht für die negative, nach der ich gesucht habe. Zuerst dachte ich noch an zwei sich anziehende Körper, die immer schneller aufeinander zurasen und sich dabei ihr Feldpotential verringert. Aber das ist wohl "nur" quadratisch und nicht exponentiell. Ich bin aber nicht sicher.
> Allerdings folgt jedes natürliche Wachstum dem logistischen Wachstum
Nö, längst nicht jedes. Bakterien scheinen sich häufig daran zu halten. Korrosions- und Kristallisationsprozesse eher nicht.
Ich habe die logistische Kurve etwas anders in Erinnerung:
https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
aber jetzt nicht die Zeit, das mit Deiner Funktion zu vergleichen - mag sein, dass die identisch ist.
Ich denke, wenn es ein geschlossenes System ist, dann schon (auch Korrosion und Kristallisation "leiden" unter dem "Gegendruck" von Produkten oder fehlenden Ausgangsstoffen).
Die Funktionen sind von der Art her wohl ähnlich. Zumindest der Graph ist typ-identisch. Und meist sind solche Prozesse eine Überlagerung zweier oder mehrerer e-Funktionen.
Hm, was gäbe es denn in Natur oder Technik für solch labile Gleichgewichte? Wenn etwas umkippt, steigt die (Fall-)Geschwindigkeit doch meist nur quadratisch.
Mir kam nur Menschgemachtes in den Sinn:
Z.B. die "Schuldenfalle": Negativzins, der die Schuldenlast exponentiell vergrössert.
Auch das exponentielle Wachstum gibt es ja in der Natur nicht (nur als kleiner Teilausschnitt eines logistischen Wachstums der Form
e^x /(1+e^x).