Potenzgesetze per Induktion beweisen?
Hallo,
und zwar soll ich diese beiden Potenzgesetze per Induktion beweisen. Ich habe bei beiden beweisen, dass die Gleichung für n=1 gilt.
(a^1)^m=a^1*m
a^m = a^m
und
a^1*b^1 = (a*b)^1
a*b = a*b
Somit gilt die Gleichung für n = 1
Doch wie sieht der nächste Schritt aus?
für n -> n+1:
a^(n+1)*m = a^(n+1)*m
Wie gehts weiter? Danke euch im Voraus.
5 Antworten
Die Methodik Induktion ist meist nur Zahlen einsetzen! Besser ist die Mathematik logisch zu verstehen und zu erklären! Das Potenzgesetz ist eines der wichtigsten und das Gleiche wie die Wurzel-, Logarithmus- und Ableitungsgesetze:
Bei Potenzen ist die gleiche Basis (Grundwert) Voraussetzung, also geht die Verrechnung nur über die Exponenten und ein Exponent stammt aus der Rechenstufe tiefer (Produkt), also dürfen die Exponenten auch eine Rechenstufe tiefer verrechnet werden und das betrifft nur die Punktrechnung Potenz, Produkt und Bruch! Dummerweise wird das Ausklammern gleicher Exponenten auch als Potenzgesetz bezeichnet, obwohl nichts verrechnet wird!
Hallo UlrichNagel,
leider steht in der Aufgabenstellung, dass ich Induktiv beweisen soll.
Liebe Grüße
Hallo,
zu zeigen ist, daß (a^n)^m=a^(n*m)
Für n=1:
(a^1)^m=a^(1*m)
a^1=a und 1*m=m, daher:
a^m=a^m (w)
Nun gilt zu beweisen, daß (a^(n+1))^m=a^((n+1)*m)
a^(n+1)=a^n*a
Dann ist (a^(n+1))^m=(a^n*a)^m
Da (a*b)^n=a^n*b^n, gilt:
(a^n*a)^m=(a^n)^m*a^m
Laut Induktionsvoraussetzung ist (a^n)^m=a^(n*m), daher:
(a^n*a)^m=a^(n*m)*a^m
Nach dem Gesetz a^n*a^m=a^(n+m), gilt:
a^(n*m)*a^m=a^(n*m+m)
n*m+m ist nach Distributivgesetz gleich m*(n+1), daher:
(a^(n+1))^m=a^(m*(n+1))
Genau dies aber galt es zu beweisen.
Der andere Beweis geht entsprechend.
Herzliche Grüße,
Willy
Kennt ihr schon das Potenzgesetz
a^m * a^n = a^(m+n)
? Bzw.: dürft ihr es in einem Beweis verwenden?
Hast du im 1. Fall schon versucht, über m zu induzieren?
Im 2. Fall: Die Potenz
x^(n+1)
kann man in zwei Weisen in ein Produkt zerlegen:
x^(n+1) = x^n * x^1 = x^n * x
x^(n+1) = x^(1+n) = x^1 * x^n
Dann noch Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation nutzen.
(a^(n+1))^m =
(a^n • a^1)^m =
((a^n)^m • (a^1)^m
nach Voraussetzung gilt: (a^n)^m = a^(nm)
also haben wir
a^(nm) • (a^1)^m =
a^(nm+m) =
a^m(n+1)
a^n+1 • b^n+1 =
a^n • a • b^n • b =
a^n • b^n • a • b
mit Voraussetzung
=
(ab)^n • a • b =
(ab)^n • (ab)^1 =
(ab)^n+1
Hallo,
wie gehe ich denn nun bei dem 3. Gesetz vor.
Der IA gilt für n=1.
Nun für den IS:
a^n+1*b^n+1 = (ab)^n+1
Was nun?
Darfst du denn andere Potenzgesetze benutzen? Weil dann kannst du ja a^(n+1)*m in a^mn * a umschreiben