Vollständige Induktion Beweis?
Aufgabe:
Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für jede natürliche Zahl n gilt: 5^n + 7 ist ein natürliches Vielfaches von 4.
Induktionsanfang ist mir bewusst, einfach 1 einsetzen und fertig. Bei dem Rest danach komme ich aber einfach nicht weiter…
Kann mir da jemand helfen?
2 Antworten
Du nimmst an, es gälte für n. Dann beweist du, dass es auch für n+1 gilt.
Das ist bei dieser Aufgabe kinderleicht.
Was bedeutet, daß eine Zahl ein Vielfaches von 4 ist. Schreib das mal für diesen Term hin --- bei n erstmal. Und dann wie würde es für n+1 aussehen?
Ich komme da gar nicht weiter :(
INDUKTIONSANNAHME: Es gibt eine natürliche Zahl a mit 4*a = 5^n+7.
Induktionsschritt:
Jetzt schauen wir uns 5^(n+1) +7 mal an.
5^(n+1)+7= 5^n *5+7=1*5^n +4*5^n+7=5^n+7 +4*5^n=4*a +4*5^n=4*(a+5^n)
Und das ist trivialerweise ein Vielfaches von 4.
Peter, der Trick ist der, dass 5*5^n umschreiben kannst zu (4+1)*5^n, da 4+1 = 5 sind, daher ergibt sich ausmultipliziert dann 4*5^n+5^n+7 und dann kannst du die 5^(n+7) als 4a schreiben und der Rest ist trivial. Generell gilt, dass man bei solchen Beweisen "kreativ" sein muss. Man versucht sich im Prinzip durch "geschicktes" Umschreiben seine Induktionsvoraussetzung / -Annahme nutzen zu können.
5^(n+1) + 7= 5*5^n + 7= 4*5^n + (5^n + 7)
Ich habe das mal eben auf die Schnelle gemacht, ist ziemlich einfach