Potenzgesetze Herleitung?
1) Hallo, meine Frage bezieht sich auf die Potenzgesetze, und zwar insbesondere auf den Fall aⁿ mit n≤0.
Ich habe in dem Lehrbuch hier folgendes gefunden (siehe Bild). Ist es nun tatsächlich so das die Gesetze für Potenzen mit nicht-positiven Exponenten einfach postuliert wurden?
Denn man kann es sich ja prinzipiell auch einfach über die Rechenregeln für Potenzen herleiten dass es so sein muss. Also ist das alles eine Definitionsache bzw. wurden die Gesetze so formuliert, dass es eben so passt?
2) Weitergehend habe ich mich folgendes gefragt: Zwei Brüche a/b und c/b mit b ungleich 0 addiert man, indem man ihre Zähler addiert. Doch wie kann man das beweisen? Da habe ich mir folgendes überlegt:
a/b + c/b = a·b⁻¹ + c·b⁻¹ = (a + c)·b⁻¹ = (a + c)/b.
so kann man es mit den Potenzgesetzen beweisen. Doch sind diese jetzt einfach so wie sie sind, oder wurden sie so gemacht, das es passt?
3 Antworten
Hallo Lukas2812,
die Frage...
Ist es nun tatsächlich so das die Gesetze für Potenzen mit negativen Exponenten einfach postuliert wurden?
...würde ich negativ beantworten, wenn damit gemeint ist, dass dies bloß eine willkürliche Festsetzung sei.
Für Natürliche Exponenten ist klar, dass
(1.1) an+1 = an·a ⇔ an = an+1/a
ist. Was rechts vom '⇔' steht, kann man durch „umtaufen“ zu
(1.2) an–1 = an/a,
und für n=1 bedeutet dies
(2.1) a0 = a1/a = a/a = 1
und weiter
(2.2) a–1 = a0/a = 1/a.
Das lässt sich beliebig nach unten fortsetzen.
Man kann (1.1) noch verallgemeinern zu
(3.1) an+m = an·am
und (1.2) zu
(3.2) an–m = an/am.
Das erst sind allgemeine Potenzgesetze. Ein weiteres ist übrigens
(4) an·m = (an)m.
Sowohl daraus als auch schon aus (1.1) lässt sich auch schließen, dass z.B.
(5) a½ := √{a}
ist:
(6.1) a½+½ = a½·a½ = a
und
(6.2) a½·2 = (a½)2 = a.
Damit haben wir nur dank von Potenzgesetzen, die für Natürliche Exponenten schon gezeigt werden konnten, den Begriff der Potenz auf negative und sogar gebrochene Exponenten ausgeweitet.
…zwei Brüche a/b und c/b mit b ungleich 0 addiert man indem man ihre Zähler addiert . Doch wie kann man das beweisen?
Durch das Distributivgesetz
(7.1) a·(b ± c) = (a·b ± a·c)
(7.2) (a ± b)·c = a·c ± b·c,
mit c=1/n, wobei n ≠ 0 eine Ganze Zahl sein soll („Dein b“).
Die zweite Frage bezieht sich nicht unbedingt auf Potenzgesetze, sondern auf das Distributivgesetz. Statt
a/b + c/b
kannst Du immer auch
a·(1/b) + c·(1/b)
oder eben auch
a·b⁻¹ + c·b⁻¹
schreiben. Nur dass
1/b = b⁻¹
ist, hat mit einem Potenzgesetz zu tun.
1)Ja das schon aber woher soll man Wissen wie man einen Bruch mit einer Zahl bzw zwei Brüche miteinader multipliziert? a•1/b=a/b
aber muss man das nicht auch erst beweisen? Denn wir haben an der Uni gesagt bekommen das man das so macht: a•1/b= a*b^-1=a/b
aber dafür müsste man ja erstmal bestimmen was b^-1 überhaupt ist.
2) aber in dem Moment wo wir die potenzregeln erweitern auf ganze bzw. rationale exponenten, ist das dann nicht eine Definition die wir treffen, das wir es überhaupt dürfen?
In der Definition über die Körperaxiome an der Uni wird das multiplikativ inverse Elememt b' von b, also das Element mit b'b=1, einfach b⁻¹ genannt. Man weiß sozusagen schon, dass man es als minus-erste Potenz von b ausdrücken kann. Schließlich tut man nur so, als fange man quasi bei Null an.
Das Dividieren - und ein Bruch ist nichts anderes als eine Division - gibt es in praxi schon, aber in den grundlegenden Vorlesungen wird eine Struktur eingeführt, die auf Deutsch ,,Körper" und auf Englisch ,,field" heißt, in der es die Addition und die Multiplikation gibt.
Da wird die Division durch b nicht als eigenständige Rechenoperation, sondern als Multiplikation mit dem multiplikativ Inversen von b eingeführt.
Folgt b^-1 rein aus der Definition oder folgt es aus den potenzgesetzen ?
Du meinst
b⁻¹ := 1/b.
Letzteres. Aus heutiger Sicht ist also diese Bezeichnung nachvollziehbar. Ohne dieses Wissen würde man dieses '...^-1' nicht verwenden.
denn wie kann man sonst beweisen das a/b*c/d=ac/bd ist?
Multiplikation vertauscht, und Division ist Multiplikation mit dem Kehrwert:
a·(1/b)·c·(1/d) = a·c·(1/b)·(1/d).
Ok also quasi im Körper der reellen Zahlen ist b^-1 das Multiplikative inverse von b. Und das hoch minus eins soll erstmal keine Bedeutung haben nur zur Beschreibung des inversen. Wenn man jetzt die potenzgesetze anwendet und feststellt das 1/a nicht a^-1 ist nur für denn Fall wenn es so wäre,
wäre dann das axiom oben falsch?
Und das hoch minus eins soll erstmal keine Bedeutung haben nur zur Beschreibung des inversen.
Doch, schon. Natürlich weiß man bereits, dass sich 1/b als b⁻¹ schreiben lässt - Spoileralarm sozusagen. Man kennt längt die Reellen Zahlen und ihre Eigenschaften, die Potenzgesetze etc. aber: Wenn es um die Körperaxiome geht, fängt man gleichsam mit dem ganzen Wissen neu an und formuliert die bekannten Rechenregeln, wie sie von den Reellen Zahlen längst bekannt sind, als Axiome, insbesondere, um auf einer allgemeinen, abstrakten Basis scharf definierte Begriffe zu schaffen - den des Körpers etwa.
Dann hätte das aber nicht in Einklang mit den Potenzgesetzen gestanden oder?
,,Nicht in Einklang stehen" heißt eigentlich ,,widersprechen" - und dies tut die Bezeichnung nicht.
Eine Bezeichnung 'b^#' nimmt nur keinen Bezug auf das Potenzgesetz.
Das macht doch nichts. Das Komplex Konjugierte wird auch mal mit Überstrich dargestellt, mal mit Sternchen.
Potenzen mit negativen exponenten einfach postuliert wurden?
So würde ich das nicht stehen lassen. Die Definition für negative Exponenten ist die einzig sinnvolle und konsistente Erweiterung der Potenzgesetze für positive Exponenten.
Beispiel:
n² = n³/n
n^1 = n²/n
n^0 = n/n = 1
n^(-1) = n^0/n = 1/n
n^(-2) = n^(-1)/n
usw.
siehst du, worauf ich hinaus will?
Denke ich auch! Die weiteren PotenzGesetze ergeben sich quasi automatisch aus der 1. Definition! Wenn x²=x×x bedeutet, ergibt sich automatisch der Rest!
Im Zusammenhang dieses Buches , meint postulieren hier wohl : Wir haben nicht so bewiesen, wie es mathematisch nötig wären, darum postulieren wir es.
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In der Mathematik werden unbewiesene oder unbeweisbare Aussagen, die in Folgerungen oder Beweissystemen als wahr vorausgesetzt werden sollen, auch Postulate genannt.
Ein Postulat hat, wie zumindest ich das verstehe, einen vorläufigeren Charakter als ein Axiom.
Ok vielen Dank schonmal!
aber wie ist das dann hier in diesem Buch zu verstehen?
bzw ist es korrekt das man dann aus dem potenzgesetzen die bruchrechenregelm erklären kann? Und: wenn wir die potenzgesetze so erweitern auf rationale und ganze exponenten
haben wir es dann nicht doch definiert?