Potenz und Basis wechseln
Hey
Bei einer Übungsaufgabe aus der Uni komme ich grade nicht so wirklich weiter. Die Aufgabe lautet: Schreiben Sie folgenden Ausdruck als Potenz zur Basis 3: X^3 Meine Frage ist halt wie ich da die 3 als Basis hinbekommen soll...eine passende Formel/Gesetz konnte ich nicht finden.
6 Antworten
Gesucht ist also ein Ausdruck a, so dass folgende Gleichung erfüllt ist:
x ^ 3 = 3 ^ a
Auflösen dieser Gleichung nach a ergibt:
a = log_3 ( x ^ 3 )
sodass also gilt:
x ^ 3 = 3 ^ log_3 ( x ^ 3 )
das kann man noch umformen zu:
= 3 ^ ( 3 * log_3 ( x ) )
= 3 ^ ( 3 * ln ( x ) / ln ( 3 ) )
wobei ln den natürlichen Logarithmus bezeichnen soll.
Ansatz ist x³ = 3^x
Normal und logisch wäre x=3
Mathematischer Ansatz dazu ist
3 lg3(x) = x *lg3(3)
Ansatz ist x³ = 3^x
Oben in der Frage steht keineswegs "Die dritte Potenz einer Zahl ist gleich drei potenziert mit dieser Zahl"
Der Rest erübrigt sich daher.
Logarithmieren zur Basis 3 und 3 zu dieser Potenz nehmen. Sieht vielleicht komisch aus, ist aber die einzige Möglichkeit. Vielleicht ein paar Logarithmengesetze anwenden.
Schreiben Sie folgenden Ausdruck als Potenz zur Basis 3: X^3
mach doch mal a:=3: X^3
Und dann: "Schreiben Sie folgenden Ausdruck als Potenz zur Basis: a"
Das ist doch wohl: a=3^lg_3(a), demnach 3: X^3 = 3^lg_3(3: X^3), dann noch schauen, ob man was vereinfachen kann.
dann 3^( (3lg x / lg 3)