Polstelle und Lücke stetig?
Sind Polstellen/Lücken Unstetigkeitsstellen?
Und wenn ja: 1. oder 2. Art?
Ich hab schon überall gesucht und alle sagen mir was unterschiedliches.
3 Antworten
Eine Bedingung, dass eine Funktionen an einer Stelle x0 überhaupt stetig ist, ist dass sie dort definiert ist.
An einer Polstelle/Lücke ist die Funktion nicht definiert, somit stellt sich dort die Frage nach Stetigkeit nicht. Trotzdem kann die Funktion stetig sein (wird es in den meisten Fällen wohl auch sein)!
"Merksatz": Eine Funktion ist stetig, wenn man den zugehörigen Graphen innerhalb des Definitionsbereichs ohne Absetzen des Stifts zeichnen kann. Somit ist auch z. B. f(x)=1/x stetig, da Du nur an der Definitionslücke den Stift absetzen musst; für den kompletten Bereich kleiner Null und größer Null jedoch nicht.
Problematische Stetigkeitsstellen hat man in der Regel bei zusammengesetzten Funktionen, wenn eine Teilfunktion in die nächste übergeht.
Polynomfunktionen z. B. und deren "Kombinationen" aus Addition/Subtraktion/Multiplikation/Division sind immer stetig...
Bin mir nicht sicher, was Du meinst!
x=0 gehört nicht zu 1/x, da die Funktion dort nicht definiert ist (D=IR\{0]}. Und an Stellen, an denen eine Funktion nicht definiert ist, machen Untersuchen auf irgendwelche Eigenschaften dieser Funktion (z. B. Steigung, Funktionswert oder eben Stetigkeit) keinen Sinn.
Daher zur Verdeutlichung auch "mein" Merksatz (wichtig ist dabei das Fettgedruckte). Früher in der Schule haben wir uns auch immer gemerkt: Stetigkeit=Graph ohne Absetzen zeichnen. Da man aber bei z. B. f(x)=1/x bei x=0 absetzen muss, waren viele der Meinung, diese Funktion sei nicht stetig, was aber falsch ist; da eben die Grundvoraussetzung auf Stetigkeit an einer bestimmten Stelle x0 ist, dass die Funktion dort auch definiert ist (daher muss man sich von dem Gedanken "Absetzen=unstetig" unbedingt lösen!!!)
Anders gesprochen: gelten für jeden existierenden Punkt einer Funktion die Eigenschaften, dass linker und rechter Grenzwert dort gleich sind (die Funktion also keinen Sprung macht) und dass dieser Grenzwert gleichzeitig auch der Funktionswert ist (also dort kein Ausreißerpunkt vorliegt), dann ist diese Funktion stetig über ihrem kompletten Definitionsbereich!
Was bedeutet "1. Art" bzw. "2. Art" in Bezug auf Polstellen / Definitionslücken?
Ich kenne Polstellen 1., 2., ... Grades.
Eine Polstelle ist eine Unstetigkeitsstelle, wenn man nur endliche "Zahlen" betrachtet. (In der Theorie der meromorphen Funktionen nimmt man aber das Element "unendlich" (ohne Vorzeichen!) hinzu, um die Ausnahmestellung der Polstellen zu beseitigen. Dann ist eine Polstelle keine Unstetigkeitsstelle mehr. Es gibt aber immer noch "wesentliche Singularitäten" - aber das geht zu weit über die Frage hinaus.)
Du hast irgendwo gefunden, dass Polstellen oder
Lücken keine Unstetigkeitsstellen sind?
Ja, gefühlt jedes zweite Seite sagt, dass z.B. 1/x stetig ist, obwohl bei x=0 eine Polstelle ist.
Könntest du eine Seite nennen, die das sagt?
Oder ist da vielleicht ein Bereich angegeben
oder x = 0 ausgeschlossen?
du hast ja so recht............nirgendwo sonst kenne auch ich soviel widersprüchliches.
um das für mich sauber zu verstehen : : : Trotzdem kann die Funktion stetig sein:::: dann besteht (gehört zu der ) die Fkt , zB 1/x aus den beiden Teilen < und > 0 , aber nicht aus =0