Normal/Binomial/Hypergeometrische-Verteilung
Hey. Ich habe eine Frage. Was ist der genau Unterschied zwischen einer Normalverteilung,Binomialverteilung und Hypergeometrische Verteilung?
Und noch wichtiger: Woher "seh" ich wann ich welches benutzen muss in einer Aufgabe?
Bitte so einfach wie möglich erklären, denn Wiki versteh ich leider auch nicht wirklich und das bringt mich zur Verzweiflung grad...
2 Antworten
... vielleicht etwas genauer zu deiner Frage:
Erst einmal sind Binomial- und hypergeometrische Verteilung sogenannte diskrete Verteilungen. Das bedeutet, dass Ereignisse als einzelne und paarweise getrennt betrachtet werden, zum Beispiel Ereignisse wie "ich ziehe ein Los aus einer Urne" oder "ich würfele mit einem Würfel".
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses folgt einer Binomialverteilung, wenn seine Wahrscheinlichkeit in einem gegebene Zusammenhang nicht von derjenigen vorhergehender Ereignisse abhängt. Das ist bei dem Beispiel "ich ziehe ein Los aus einer Urne" genau dann der Fall, wenn jedes Los in die Urne zurückgelegt wird, bevor das nächste Los gezogen wird (so dass das gleich Los gezogen werden kann wie in einem vorhergehenden Ereignis). Die Wahrscheinlichkeit, dass von n Würfen mit einem Würfel genau k (0 ≤ k ≤ n) eine vorgegebene Augenzahl ergeben, ist ebenfalls binomialverteilt, weil das Ergebnis eines Wurfes nicht von dem der vorhergehenden abhängt.
Wenn im Beispiel "ich ziehe ein Los aus einer Urne" das Los nicht zurückgelegt wird, steigt die Wahrscheinlichkeit für die in der Urne verbliebenen Lose, gezogen zu werden. Die Wahrschenlichkeit für eine solches Ereignis ist hypergeometrisch verteilt.
Ein anderes Beispiel wäre, in einer Klasse von 25 Leuten an die Tafel gerufen zu werden, wenn in jeder Stunde 5 Leute an die Tafel gerufen werden, falls alle gleich behandelt werden und es vom Zufall abhängt, wann genau ausgerechnet du an die Tafel gerufen wirst. Denn mit jeder Person, die vor dir an die Tafel gerufen wird, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass als nächstes du dran bist, weil die gleiche Person in der gleichen Stunde nicht noch einmal an die Tafel gerufen wird (entspricht: "Los wird nicht zurückgelegt"). Auch diese Wahrscheinlichkeit ist hypergeometrisch verteilt.
Es gibt Ereignisse, deren Anzahl so groß ist, dass die Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit diskreten Verteilungen zu umständlich wäre. Für eine hinreichend große Anzahl von Ereignissen nähern sich aber auch verschiedene diskrete Verteilungen einer einzigen Verteilung ( = der Normalverteilung) an, d.h. die für eine kleinere Anzahl von Ereignissen beobachtbaren Unterschiede fallen kaum noch ins Gewicht. Die im letzten Satz genannte Tatsache ist die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes.
Die Normalverteilung betrachtet rechnerisch unendlich viele Ereignisse, was zu der Seltsamkeit führt, dass ein einzelnes Ereignis bei Normalverteilung rechnerisch die Wahrscheinlichkeit 0 hat. Solche Verteilungen heißen (nicht diskret, sondern) stetig oder auch kontinuierlich. Eine verwendbare Aussage bekommst für die Fragestellung, wie wahrscheinlich es ist, ob mehr als soundsoviel und/oder weniger als als soundsoviel der betrachteten Ereignisse in einer vorgegebene Weise ausfallen.
Typisches Beispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 000 maschinell Werkstücken mehr als 25 fehlerhaft, wenn die Wahrscheinlichkeit eines fehlerhaften Einzelwerkstücks 1 / 1000 beträgt? Da der Fehler eines Werkstücks nicht vom Fehler bei einem vorherigen abhängt, kannst du das exakt, aber extrem umständlich mit Binomialverteilung rechnen. Sehr viel einfacher und mit (bis auf irgendwelche unwichtigen Kommastellen) näherungsweise gleichem Ergebnis geht die Rechnung mit Normalverteilung.
Das Wesentliche erfasstest du, ich würde mir schon konkrete Beispiele merken (meine oder auch ganz andere), darum schrieb ich welche auf.
Die Normalverteilung lässt sich in der Tat als eine Näherung betrachteten (oder eher noch als ein Grenzwert, gegen den verschiedene Verteilungen bei Betrachtung hinreichend großer betrachteter Stückzahlen konvergieren - und mit der in solchen Fällen ("großes" n) vor allem deutlich einfacher zu rechnen ist als mit der Biomialverteilung.
ah okay, wird mir jetzt ein wenig klarer, ich danke dir sehr. Hast mir sehr geholfen :)
Findet man alles bei Wikipedia unter "Wahrscheinlichkeitsverteilung".
Je nach Prozess/Vorgang/Untersuchungstechnik ergeben sich unterschiedliche
Dichte- & Verteilungsfunktionen (mehr als die 3 von Dir genannten).
Meist steht schon in der Aufgabe: "...untersuche, ob die Messwerte normalverteilt sind..."
Normalverteilung untersucht die Abweichung zu einem Idealwert:
- Messfehler
- Gewicht von Verpackungen (Butter soll 250g wiegen, weicht aber immer etwas ab)
- Abweichung vom Nennmaß
Binom. V.: Betrachtet nur wenige Schubfächer - man sagt diskrete Werte (wenn eine Kugel in nur wenige n Behälter landen kann). Die Binomialverteilung konvergiert gegen eine Normalverteilung, d. h. die Normalverteilung kann als brauchbare Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und der Anteil der gesuchten Ausprägung nicht zu klein ist.
Im Gegensatz zur Binomialverteilung werden bei der hypergeometrischen Verteilung die Stichproben nicht wieder in das Reservoir zur erneuten Auswahl zurückgelegt...
Interessante Seite mit praktischen Beispielen:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/hypgeovert1.htm
oben rechts sind die beiden anderen Verteilungen verlinkt.
hm okay also nochmal zusammenfassen ob ich das verstanden hab
Binomial V.: mit zurücklegen, also wenn nach dem ziehen oder ähnliches hab ich wieder die gleich w-keit habe ein los oder sowas zu ziehen (muss doch so sein oder?
Hypergeometrische V.: ohne zurücklegen, die w-keit ändert sich nach jeder ziehung
Normalverteilung: versteh ich nich so ganz. Ist das also nur ne Näherung zu einer binomialverteilten Verteilung?