Was ist die Vereinigung der leeren Menge?
Hallo,
ich bin's man wieder mit einem Verständnisproblem bezüglich der Mathematik, genauer der Mengenlehre.
Und zwar geht es um das Vereinigungsaxiom nach ZF. Eigentlich dachte ich, dass ich es verstanden hätte aber dann kam das heutige Übungsblatt.
Hier einmal der Kontext:
Wir definieren: M := {0,{0}} (Die 0 steht für die leere Menge)
Jetzt soll ich zeigen ob für alle x aus M gilt: Die Vereinigung von x ist Element von M.
Mein Problem ist jetzt, da ein Element von M ja die leere Menge ist. Ich weiß das nach ZF jedes Element einer Menge selbst eine Menge ist, aber wie kann ich mir logisch die Vereinigung der leeren Menge vorstellen?
Die Vereinigung der leeren Menge würde ja bedeuten es gibt eine Menge A aus der leeren Menge, usw...
Aber das ist doch schon ziemlich widersprüchlich, da die leere Menge keine Elemente/Mengen enthält. Ist also Die Vereinigung der leeren Menge wieder die leere Menge?
Im Anhang befindet sich (hoffentlich) die Angabe um es besser verstehen zu können.
Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen.
LG,
ZyrranM
1 Antwort
"Ich weiß das nach ZF jedes Element einer Menge selbst eine Menge ist"
Ich weiß zwar nicht, was ein ZF ist, aber hier würde ich aufpassen. Jede Teilmenge ist eine Menge, aber nicht jedes Element ist eine menge.
Die Menge der Natürlichen Zahlen ist IN, 1 ist ein Element der Natürlichen Zahlen. {1} ist eine Menge, die Teilmenge der Natürlichen Zahlen ist.
Deswegen gilt es zu unterscheiden:
∅ ist zwar Teilmenge ein jeder Menge, aber nicht Element ein jeder Menge.
Das weiß ich, weil ich das auch mal nicht unterschieden habe und belehrt wurde.
In deinem Beispiel ist das Element {∅} eine Menge, die die Leere Menge (als Element) enthält und das Element ∅ eine Menge ohne Inhalt. Eine Vereinigung würde nur den Inhalt der ersten Menge enthalten, da der Inhalt der zweiten Menge leer ist. {∅} ∪ ∅ = {∅}. Es entsteht eine Menge, die nur die Leere Menge als Element enthält. A ∪ ∅ = A (immer)
Die Vereinigung ist eine binäre Operation, genauso wie + oder *.
Die wollen, dass du die Elemente von M, die Mengen sind, miteinander vereinst und überprüfst, ob diese Vereinigung ein Element von M ist.
Das ist hier zwar der Fall, muss aber nicht so sein. Beispiel N = {{1},{2}}
Die Vereinigung von {1} und {2} ist {1;2}, welches jedoch nicht Element von N ist.
Beispiel 2:
O = { ℕ; ℤ }
ℕ ∪ ℤ = ℤ
ℤ ∈ O
Danke für deine Antwort.
ZF ist die axiomatische Mengenlehre nach Zermello-Fraenkel.
Noch eine Sache: Ich kann nur die Vereinigung von mind. zwei Mengen bilden, oder?
Was mich verwirrt: Die Aufgabe verlangt die Vereinigung von x. Aber x ist ja ein Element von M. Wollen Sie also doch das ich x vereinige? Das macht doch gar keinen Sinn... Wenn Die Frage nach der Vereinigung von M wäre, wär alles klar