Nachweisen, dass eine Gerade g(x) eine Tangente an f(x) ist und Normale bestimmen
Hey ich schreibe bald Mathe und komme bei einer Aufgabe nicht weiter , Antworten mit Lösungsweg wären nett :))
gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x²-6x+9 A) Weise rechnerisch nach, dass die Gerade zu g(x)= 2x-7 eine Tangente an den Graphen von f ist und berechne den Berührpunkt B .
B) Stelle die Gleichung der Normalen n zu der Tangente g auf.
C) Berechne, in welchem Punkt die Normale n den Gerade von f noch schneidet .
Danke schonmal :**
2 Antworten
A) eine tangente zeichnet sich dadurch aus, dass sie nur einen schnittpunkt mit der funktion hat. wenn du f(x) also gleich g(x) setzt und nur eine lösung raus kommt, handelt es sich um eine tangente.
f(x) = g(x)
x^2 - 6x + 9 = 2x -7 |+7 - 2x
x^2 - 8x +16 = 0 | pq-Fomel anwenden
x(1/2 steht unten) = 4 +/- [wurzel aus 4^2 -16 ]
x = 4 (nur eine lösung, da term unter der wurzel gleich null wird)
dass es eine tangente ist, hast du schon mal bewiesen, jetzt musst du noch den berührpunkt ausrechnen. x = 4 hast du schon bestimmt. du musst also nur noch x = 4 entweder in f(x) oder in g(x) einsetzen, da das ja der punkt ist, an dem sich die beiden graphen schneiden. der einfachheit halber habe ich g(x) genommen.
--> g(4) = 2 * 4 - 7 = 1
BP (4/1)
B) die normale ist senkrecht zu der tangente. deswegen gilt m(n steht unten) = - 1 / m(g steht unten) --> m(n steht unten) = - 1 / 2
wir setzen m(n steht unten) in n(x) ein.
n(x) = -0,5x + r(beliebig gewählter buchstabe, normalerweise nimmt man dafür n, geht hier nicht)
setze BP (4/1) ein.
--> 1 = -0,5 * 4 + r 3 = r --> n(x) = -0,5x + 3
C) f(x) muss gleich n(x) gesetzt werden, da ein schnittpunkt gesucht ist.
f(x) = g(x) --> x^2 - 6x + 9 = -0,5x + 3 |+ 0,5x - 3
x^2 - 5,5x +6 = 0
x(1/2 steht unten) = - (-5,5/2) +/- [wurzel aus (-5,5/2)^2 - 6]
x(1 steht unten) = 1,5 v x(2 steht unten) = 4
--> n (1,5) = 2,25
--> n(4) = 1 (schon vorher bekannt, nicht im antwortsatz erwähnen)
BP(2 steht unten) (1,5(2,25)
aber wie kommt man auf '1=-0,5*4+ 3r (also auf die 3r ?)
ach sry hab das falsch gelesen :) hab das jetzt verstanden :)
letzte zeile ist ein fehler, sorry...
BP(2 steht unten) (1,5/2,25) --> so ist es richtig =D
Mach'ne Zeichnung - Kurve und GeradeTangente: berühren die Kurven sich, haben vielleicht einen oder mehrere Punkte gemeinsam? - Wie drückt man das mathematischsprachlich aus - es gibt ein x, für das gilt .. (geht um y und Gemeinsamkeit). - Was zeichnet eine Tangente aus? - Vom gemeinsamen (jetzt konkreten) Punkt mal agesehen vllt. sowas wie 'Steigung'; wie bestimmt man die (wie war noch mal die 1. Ableitung eingeführt ..?)? - Der Rest ist jetzt Rechnen.
Aber man soll das ja 'rechnerisch' nachweisen und keine Zeichnung machen . Das hilft mir nicht wirklich weiter -.- trz danke
und müsste das in c nicht f(x)= n(x) heißen ?