n-te Ableitung bestimmen?

Hey, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen und mir vielleicht anhand a) ein Beispiel geben wie das geht?

Danke schonmal im Voraus :)

Answer 1

[Jangler13]

Bestimme erstmal die erste Ableitung.

Nutze dafür, dass 2^x=e^(ln(2)*x) gilt und verwende die Kettenregel.

Überlege dir dann wie die weiteren Ableitungen aussehen müssen und schließe dann daraus wie die n. Ableitung sein muss.

(b läuft analog ab, c und d sind etwas komplizierter)

Comments

[Katha288]

Okay, danke

Answer 2

[nobytree2]

Gehen wir abstrakt vor

$f\left(x\right)=ca^x\ \ \ f\left(x\right)'=\ln\left(a\right)\cdot c\cdot a^x$ $f\left(x\right)''=\left(\ln\left(a\right)c\cdot a^x\right)'=\ln\left(a\right)\cdot c\cdot\left(a^x\right)'=\ln^2\left(a\right)c\cdot a^x$

Mit jeder weiteren Ableitung kommt offenbar einfach nur ln(a) als weiterer Faktor hinzu. Also

$f\left(x\right)^{\left(m\right)}=c\cdot\ln^m\left(a\right)\cdot a^x$

Beweis

$\left(f\left(x\right)^{\left(m\right)}\right)'=c\cdot\ln^m\left(a\right)\cdot\left(a^x\right)'=c\cdot\ln^{m+1}\left(a\right)\cdot a^x=f\left(x\right)^{\left(m+1\right)}$

für

$\left(a^{kx}\right)'\ gilt\ noch\ die\ innere\ Ableitung\ von\ \left(kx\right)'=k\ als\ Faktor\ beachten$ $f\left(x\right)^{\left(m\right)}=k^m\cdot\ln^m\left(a\right)\cdot a^{kx}$

Die n-te Ableitung von x hoch n ist ganz einfach

$\left(x^n\right)'=nx^{n-1},\ \left(x^n\right)''=\left(nx^{n-1}\right)'=n\cdot\left(n-1\right)\cdot x^{n-2}\ \ usw$ $\left(x^n\right)^{\left(m\right)}=\frac{n!}{\left(n-m\right)!}x^{n-m}\ und\ so\ \left(x^n\right)^{\left(n\right)}=\frac{n!}{0!}x^{n-n}=n!$

Bei

$\left(\left(3-2x\right)^n\right)'=-2\cdot n\cdot\left(3-2x\right)^{n-1}$ $\left(\left(3-2x\right)^n\right)''=\left(-2\cdot n\left(3-2x\right)^{n-1}\right)=\left(-2\right)^2\cdot n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(3-2x\right)^{n-2}$ sieht man das Muster auch schnell ...

Answer 3

[joemama420]

Log verwenden? Bin mir nicht sicher