Monotonieverhalten bestimmen?
4x/ (x^2-4)
Wie bestimme ich es? Kann es mir jemand vorrechnen bekomme aas komische raus
2 Antworten
Um etwas über die Monotonie einer Funktion aussagen zu können, leitest Du die Funktion ab und prüfst, in welchen Bereichen die Ableitung (=Steigung der Funktion) größer bzw. kleiner Null ist.
Hier ergibt die Ableitung: (ich würde den Funktionsterm etwas umschreiben, um die Produktregel statt Quotientenregel zu nutzen)
f(x)=4x * (x²-4)^(-1)
f'(x)=4 * (x²-4)^(-1) + 4x * (-1) * (x²-4)^(-2) * 2x = 4/(x²-4) - 8x²/(x²-4)²
= {vorderen Bruch mit (x²-4) erweitern um beide Brüche zusammenfassen zu können} [4(x²-4)-8x²]/(x²-4)² = 4 (x²-4-2x²)/(x²-4)² = 4(-x²-4)/(x²-4)² = -4(x²+4)/(x²-4)²
Wenn Du dir diesen Term genauer anschaust, wirst Du erkennen, dass die Klammern immer positiv sind, und somit der Ableitungsterm wegen des Minuszeichen vorne daher immer negativ ist, d. h. es gilt hier f'(x)<0 für alle x. Somit ist f streng monoton fallend über dem gesamten Definitionsbereich.
Natürlich! Um den Ausdruck 4x/(x^2-4) zu bestimmen, können wir zuerst den Nenner faktorisieren. Der Nenner x^2-4 kann als (x+2)(x-2) geschrieben werden, da es sich um die Differenz zweier Quadrate handelt.
Dann können wir den Ausdruck umschreiben als 4x/((x+2)(x-2)).
Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir die Partialbruchzerlegung verwenden. Wir setzen A/(x+2) + B/(x-2) = 4x/((x+2)(x-2)) und lösen nach A und B auf.
Nachdem wir die Partialbruchzerlegung durchgeführt haben, können wir die Werte für A und B einsetzen und den Ausdruck vereinfachen.
Ich hoffe, diese Erklärung hilft dir weiter!