Monotonie untersuchen?
Untersuchen Sie die Funktion f1(x) = 1/30 • x⁵ und f2(x) = 1/100 • x⁶ im Intervall [-3;3] auf Monotonie.
f1(x) = 1/30 • x⁵
f2(x) = 1/100 • x⁶
(Bilder durch den Support entfernt)
Wie untersuche ich die Funktionen auf Monotonie? Und um welche Monotonien handelt es sich in den beiden Abbildungen?
2 Antworten
Wie untersuche ich die Funktionen auf Monotonie? Und um welche Monotonien handelt es sich in den beiden Abbildungen?
Sie können es am Graphen untersuchen oder auch rechnerich machen.
Rechnerich:Vorgehen
1) Stellen an die Steigung 0 ist in Intervall berechnen
2) Stetigkeit prüfen
3) Aussagen über das Steigungsverhalten ableiten.
Funktion 1
f(x) = 1/30 • x⁵
f'(x) = 1/6 • x⁴
0 = 1/6 • x_{E}⁴
x_{E} = 0
f''(x) = 2/3 • x³
f''(x_{E}) = 2/3 • 0³ = 0
lim from{x -> -∞} {f(x)} = -∞
lim from{x -> ∞} {f(x)} = ∞
-> x_{E} (= 0) ist eine Sattelstelle
-> nur x_{E} hat die Steigung 0
-> die Funktion ist stetig
Da es die Funktion keine Extrema besitzt und stetig ist, ist die Steigung mindestens monoton.
Da es die Funktion monoton ist und die Grenzwerte für x gegen -∞ -∞ und für x gegen ∞ ∞ sind, steigt die Funktion insgesammt, also ist sie mindestens monoton steigend.
Da die Funktion monoton steigend ist und einen Sattelpunkt hat, kann sie nicht streng monoton steigeen, also ist sie nur monoton steigend.
-> f(x) ist monoton steigend
Da die Funktion nur bei x = 0 die Steigung 0 hat und stetig ist, muss die Funktion für x ≠ 0 streng monoton steigend ist und für x = 0 konstant, dann muss der Rest streng monoton steigend sein.
-> f(x) ist für x ≠ 0 streng monoton steigend
-> f(x) ist für x = 0 konstant
Funktion 2
f(x) = 1/100 • x⁶ = 0,01 • x⁶
f'(x) = 6/100 • x⁵ = 0,06 • x⁵
0 = 0,06 • x_{E}⁵
x_{E} = 0
f''(x) = 2/3 • x³
f''(x_{E}) = 2/3 • 0³ = 0
lim from{x -> -∞} {f(x)} = ∞
lim from{x -> ∞} {f(x)} = ∞
-> x_{E} (= 0) ist eine Extremstelle
-> nur x_{E} hat die Steigung 0
-> die Funktion ist stetig
Da es die Funktion Extrema besitzt und stetig ist, ist die Steigung nicht monoton.
Da es die Funktion monoton ist und die Grenzwerte für x gegen -∞ ∞ und für x gegen ∞ ∞ sind, steigt die Funktion nicht insgesammt, also ist sie nicht monoton.
-> f(x) ist nicht monoton
Da die Funktion nur bei x = 0 die Steigng 0 hat, x = 0 eine Extremstelle ist und die Grenzwerte für x gegen -∞ ∞ und für x gegen ∞ ∞ sind, muss die Funktion für x < 0 streng monoton fallend sein, für x > 0 streng monoton steigend sein und für x = 0 konstant.
-> f(x) ist für x < 0 streng monoton fallend
-> f(x) ist für x > 0 streng monoton steigend
-> f(x) ist für x = 0 konstant
Funktion bis x = 0 fallend und ab x = 0 steigend ist ist die Funktion für x ≤ 0 monoton fallend und für x ≥ 0 monoton steigend.
-> f(x) ist für x ≤ 0 streng monoton fallend
-> f(x) ist für x ≥ 0 streng monoton steigend
Schauen wo die Funktion steigend (nach rechts oben geht (Richtung positiv)) ist,
wo die Funktion fallend (nach rechts unten geht (Richtung negativ)) ist,
wo die Funktion konstant (gleich bleibt) ist und
wo die Funktion definiert (stetig) ist.
Daraus dann damit Aussagen über die Funktion in Intervallen geben.
Funktion 1
Die Funktion hat keine Lücken (ist stetig).
Die Funktion geht vor x = 0 nach rechts oben (ist vor x = 0 streng monoton steigend).
Die Funktion geht nach x = 0 nach rechts oben (ist nach x = 0 streng monoton steigend).
-> Die Funktion geht nach und vor x = 0 nach rechts oben (ist vor und nach x = 0 steigend).
Die Funktion geht bei x = 0 weder nach rechts oben noch nach rechts unten und ist stetig (ist bei x = 0 konstant).
-> f(x) ist für x ≠ 0 streng monoton steigend
-> f(x) ist für x = 0 konstant
Da die Funktion stetig ist (het keine Lücken), nie fallend ist (hat nie nach rechts unten) und sowohl konstante als auch steigende Teile hat, muss die Funktion monoton steigen.
-> f(x) ist monoton steigend
Funktion 2
Die Funktion hat keine Lücken (ist stetig).
Die Funktion geht vor x = 0 nach rechts unten (ist vor x = 0 streng monoton fallend).
Die Funktion geht nach x = 0 nach rechts oben (ist nach x = 0 streng monoton steigend).
Die Funktion geht vor und nach x = 0 nach rechts oben und rechts unten (ist vor nach x = 0 streng monoton).
Die Funktion geht bei x = 0 weder nach rechts oben noch nach rechts unten und ist stetig (ist bei x = 0 konstant).
-> f(x) ist für x ≠ 0 streng monoton
-> f(x) ist für x < 0 streng monoton fallend
-> f(x) ist für x > 0 streng monoton steigend
-> f(x) ist für x = 0 konstant
Da die Funktion stetig ist (het keine Lücken) und sowohl fallend, konstante als auch steigende Teile hat, kann die Funktion micht monoton sein.
-> f(x) ist nicht monoton
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3
Vielen, vielen Dank für Ihre ausführliche und hilfreiche Antwort! ☺️
f1 monoton steigend, f2 monoton fallend für x<0, monoton steigend für x>0.
Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Y ist nur 0, wenn x=0
Oder anders, warum nennt man die beiden Abbildungen monoton steigend?
Weil Y immer steigt. Das ist aber so minimal am Anfang, dass man es nicht sieht.
Warum monoton steigend, wenn bei beiden Abbildungen der y-Wert größer ist als Null auf der x-Achse von -1 zu 1. In der Wertetabelle hat -1 (x-Achse) bei f2 einen y-Wert von 0,01… Wäre es nicht streng monoton, weil es (noch) nicht Null ist?