momentane änderungsrate dringend hilfe!
hi kann mir jemand vielleicht erklären wie ich die stellen in einem intervall ausrechne an denen die momentane änderungsrate minimal bzw. maximal ist?
ich habe bis jetzt keine erklärung gefunden die mir wirklich weitergeholfen hat.
danke schon mal im voraus :)
2 Antworten
Die momentane Änderungsrate einer Funktion f(x) ist ihre Ableitung f ‘(x).
Man findet ihre Extrema (Maxima und Minima), indem man ihre Ableitung,
also f ‘‘(x) = 0 setzt. Es sind also die Wendepunkte (des Graphen) von f(x).
Hallo,
wenn Du eine Funktion auf ein Minimum oder Maximum innerhalb eines Intervalls untersuchen möchtest, solltest Du zunächst die erste Ableitung bilden, diese gleich Null setzen und prüfen, ob sich die errechneten Nullstellen innerhalb der Intervallgrenzen befinden. Logischerweise ist dann dort - vorausgesetzt, die zweite Ableitung ist an dieser Stelle nicht ebenfalls Null -der höchste, bzw. niedrigste Funktionswert oder auch mehrere innerhalb des Intervalls. Sollte dies nicht der Fall sein, vergleichst Du einfach den Funktionswert der linken Intervallgrenze mit dem der rechten. Ist er niedriger, kann kein Wert niedriger sein, weil innerhalb des Intervalls kein Minimum vorhanden ist, ist er höher, kann es aus dem entsprechenden Grund keinen höheren geben, vorausgesetzt natürlich, daß die Funktion innerhalb des Intervalls keine Polstellen oder sonstigen Brüche aufweist, sondern stetig ist.
Also, nochmal in Kurzfassung: Erste Ableitung bilden, auf Null setzen. Prüfen, ob Nullstellen innerhalb der Intervallgrenzen vorhanden sind. Falls ja: zweite Ableitung bilden. Gefundene Nullstellen der ersten Ableitung einsetzen. Ist die zweite Ableitung dort negativ, liegt ein maximum vor; ist sie positiv, ein Minimum. Ist sie gleich Null, hast Du hier einen Sattelpunkt oder eine Wendestelle, was für Deine Untersuchung nicht weiter von Belang ist, da Du ja nach Maxima oder Minima innerhalb der Intervallgrenzen suchst.
Wird die erste Ableitung innerhalb des Intervalls nicht gleich Null: Funktionswert der linken mit dem der rechten Intervallgrenze vergleichen. Alle anderen Funktionswerte müssen sich dann - Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt - zwischen diesen beiden Werten liegen.
Herzliche Grüße,
Willy