Modulare Arithmetik, wer kann mir helfen?

Hey habe vor paar Tagen mit dem Informatik Studium begonnen und komme nicht weiter.

Seien m € N und a,b € Z . Zeigen Sie:

Falls a≡b mod m und c ≡d mod m ,

gilt a+c ≡b+d mod m und ac≡ bd mod m

Hoffe wer kann helfen

Answer 1

[mihisu]

Nach Definition von Kongruenzen gilt genau dann a ≡ b mod m, wenn m ein Teiler von a - b ist, also wenn es eine (ganze) Zahl k mit a - b = k ⋅ m gibt, was man äquivalent auch als a = b + k ⋅ m schreiben kann. Soll heißen...

Dementsprechend kann man nun die Voraussetzungen a ≡ b mod m und c ≡ d mod m entsprechend umformulieren, sodass also daraus folgt, dass es k₁, k₂ ∈ ℤ mit a = b + k₁ ⋅ m und c = d + k₂ ⋅ m gibt. Dann kann man c + d betrachten und folgern, dass es ein k ∈ ℤ mit a + c = b + d + k ⋅ m gibt.

Ein vollständiger Beweis könnte dann beispielsweise so aussehen:

Comments

[isiii95]

Und was steht unter dem Bruch dad ist so klein also k1+k2 da unterm Bruch

[mihisu]

@isiii95

Ich habe da nirgends einen Bruch stehen. Evtl. meinst du die geschweifte Klammer? Da habe ich „k := “ stehen. Was „k := k₁ + k₂“ andeuten soll, also dass ich den Wert k₁ + k₂ im Folgenden mit k bezeichne.

[isiii95]

Was bedeutet das umgedrehte E

[mihisu]

@isiii95

Mit dem umgedrehten E meinst du wohl den Existenzquantor ∃.

∃ bedeutet quasi „es gibt (mindestens) ein“ bzw. „es existiert (mindestens) ein“.

„∃k ∈ ℤ : [...]“ bedeutet dementsprechend „Es gibt ein k in den ganzen Zahlen, sodass [...] gilt.“

[isiii95]

Wow vielen vielen Dank!

Answer 2

[Rhenane]

Ich denke der "Gothik-Prof." kann da ausführlicher in Bild und Ton helfen:
(kanns grad selbst nicht mit Ton gucken, daher weiß ich nicht wie ausführlich die Multiplikation klar gemacht wird; scheint "vom sichtbaren" am Ende recht schnell abgehandelt zu werden...)

https://www.youtube.com/watch?v=d2PU_vw7Eug