Mittelwert, Fläche?
Hallo zsm,
leider verstehe ich die Aufgabe 3) nicht ganz. In der Fragestellung steht, dass man das Größenverhältnis von A1 zu A2 beschreiben soll. Das Problem ist, ich weiß nicht wie groß die Flächen der beiden sind, und das wäre doch nötig um das Verhältnis anzugeben.
Ich habe in den Lösungsheft geschaut und da steht. es gilt A1 = A2.
Ich komme nicht darauf, wie man es gelöst hat? Wenn man A1 und A2 betrachtet, sehen die Flächen gleich groß aus, aber man müsste doch genau zahlen haben, um diese Aussage treffen zu können?
Ich bitte um Hilfe.
5 Antworten
Hallo,
m=2 ist der Mittelwert aller Funktionswerte im Intervall [1|5].
Damit dieser Mittelwert erreicht werden kann, müssen alle Werte, die größer als 2 sind, durch Werte, die kleiner als 2 sind, ausgeglichen werden.
Die Flächen unter den beiden Kurven sind die Summen von unendlich vielen und unendlich schmalen Rechtecken, deren Höhe dem jeweiligen Funktionswert entspricht. Die Breite ist jeweils dx, also der Unterschied zwischen zwei x-Werten, die unendlich nah beieinander liegen.
Da die Fläche links dreimal so breit wie die Fläche rechts ist, muß die Fläche rechts im Schnitt dreimal so hoch wie die Fläche links sein, so daß jeweils drei Rechtecke links durch eins von rechts ausgeglichen wird.
Wäre es nicht so, würde der Schnitt von 2 nach oben oder unten abweichen.
Wenn aber alle Höhen links durch entsprechende Tiefen rechts ausgeglichen werden, wird die Summe der Flächen aller unendlich vielen unendlich schmalen Rechtecke bei beiden Teilflächen gleich groß sein.
Somit sind auch die beiden Flächen gleich groß.
Herzliche Grüße,
Willy
Da 2 der Mittelwert ist, ist das Integral von f(x) über [1,5] gleich dem Integral der der Funktion mit dem konstanten wert 2 über [1,5].
Daraus folgt auch, dass das Integral von f(x)-2 gleich 0 ist.
Betrachte den Graphen von f(x)-2
Dann ist A1 der Positive Anteil und A2 der negative Anteil. Da schon bekannt ist, dass das Integral 0 ist, müssen sich beide Flächen aufheben, also muss der Betrag der Fläche von A1 gleich dem Betrag der Fläche von A2 sein.
Also sind beide Flächen gleich groß
Die Gesamtfläche, also ∫f(x) beträgt 4 * 2 = 8
Diese Fläche steht fest. Laut Kurve liegt A1 drüber und kommt zu 8 dazu, A2 liegt drunter und wird von 8 abgezogen. Damit 8 bleibt, muss
8 + ∣A1∣ - ∣A2∣ = 8 sein
also ∣A1∣ - ∣A2∣ = 0
∣A1∣ = ∣A2∣
Nein brauchst du nicht, denn der Mittelwert ist ja gegeben. Und gerade wegen dieses Mittelwertes, muss die Fläche oberhalb dem Mittelwert (A1) genau so groß sein wie die Fläche unterhalb dem Mittelwert (A2).
Du musst auch berücksichtigen, dass die Fläche A2 NICHT mit einem Integral gelöst werden kann. Das Integral berechnet dir die Fläche zwischen Kurve und x-Achse. A2 ist aber keineswegs eine solche Fläche.
Die Fläche unter der Kurve im Intervall 1 bis 5 ist übrigens 10.
Weil A1 oberhalb des Mittelwertes und A2 unterhalb des Mittelwertes liegt.
Das kommt daher, dass 2 der mittelwert, deswegen ist auch die fläche oben und unten die gleiche
Das verstehe ich leider nicht. Eine Erklärung wäre sehr hilfreich