Menge aller Linearkombinationen bestimmen?

Hallo liebe Community,

nehmen wir folgende Beispielaufgabe:

Sei V = (F_3)^4 als F_3-Vektorraum, a = (0, 1, 2, 0)^t Element (F_3)^4 und b = (1, 1, 1, 1)^t Element (F_3)^4.

Bestimmen Sie <a,b>_F3 Teilmenge von (F_3)^4, also die Menge aller Linearkombinationen von a und b.

Ich habe die Aufgabe gemacht und fand sie eigentlich relativ einfach, aber ich habe jetzt mit einem Freund drüber gesprochen und bin mir unsicher ob ich sie richtig gemacht habe.

Die Linearkombination ist ja immer eine Zahl aus der Menge, multipliziert mit einem Vektor aus dem Vektorraum plus eine Zahl aus der Menge, multipliziert mit einem anderen Vektor aus dem Vektorraum.

Um die Aufgabe zu lösen habe ich mir erstmal alle möglichen Kombinationen von Zahl1 und Zahl2 aufgeschrieben.

Dies ist in F_3:

1. 0&0
2. 0&1
3. 0&2
4. 1&0
5. 1&1
6. 1&2
7. 2&0
8. 2&1
9. 2&2

Dann habe ich angefangen die verschiedenen Linearkombinationen auszurechnen also z.B.

1. 0*a+0*b
2. 0*a+1*b
3. 0*a+2*b

usw.

Da es neun verschiedene Kombinationen an Zahlen gibt, hatte ich dann am Ende neun verschiedene linear Kombinationen. Diese habe ich dann als Menge zusammengefasst und diese Menge war sozusagen mein Endergebnis. Also die <a,b>F_3.

Habe ich das so richtig gemacht? Eigentlich hat es beim rechnen schon Sinn ergeben für mich.

Answer 1

[MagicalGrill]

Der Rechenweg ist in Ordnung. Aber folgende Aussage ist ein wenig ungenau:

Die Linearkombination ist ja immer eine Zahl aus der Menge, multipliziert mit einem Vektor aus dem Vektorraum plus eine Zahl aus der Menge, multipliziert mit einem anderen Vektor aus dem Vektorraum.

Eine Linearkombination von a und b ist ein Ausdruck der Form

λa + μb mit λ,μ ∈ F_3, das stimmt schon. Aber wenn du nicht <a,b> sondern <a,b,c> hättest berechnen sollen, würden zwei Summanden nicht unbedingt reichen. Eine Linearkombination von a,b und c ist eben ein Ausdruck der Form

λa + μb + ξc.

Comments

[EkkoMcfly]

Ja das stimmt.

Vielen lieben Dank für deine Antwort :)