Vektorraum über Polynome deren Grad <= 3 ist?
Hallo,
versteht jmd. die Aufgabe (siehe Bild)? Mein Problem dabei ist, das p ja ein Vektor sein muss. Aber wie soll p ein Vektor sein wenn a reell ist und x kein Vektor sein kann, da es ja keine Summe zwischen einer reellen Zahl und einem Vektor gibt?
Vielen Dank für alle Antworten.
4 Antworten
Vielleicht ist es einfach ein wenig zu spät für so was...
{1, x, x², x³} ist die Basis des Vektorraums.
Jeder Vekter hat die Form a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³
Jetzt kann man anfangen, die Körper- und Vektorraum-Eigenschaften nachzuweisen...
Schau halt mal in ein Algebra-Buch...
Jepp, und der Raum aller Polynome maximal zweiten Grades ist ein 3D-Raum. 😜
Achso also wenn ich das richtig versteh hab ich einen gekrümmten Vektorraum und a0 - a3 sind die einzelnen Komponenten der Vektoren. Bring mir das leider alles im Selbststudium bei und hab somit kein Algebrabuch 😓
Achso also wenn ich das richtig versteh hab ich einen gekrümmten Vektorraum…
Lass' Dich nicht davon irritieren, dass die Funktionsgraphen Kurven sind. Nicht die Funktionsgraphen sind die Vektoren, sondern die Funktionen selbst.
Wenn Du Dir einen ganz »normalen« 3D-Vektor der Form (1;0;1) vorstellst, so heißt dies ja auch nicht, dass der Vektor einen Knick hätte, sondern es ist eben ein Vektor; der komplett in der x₁ - x₃ - Ebene liegt.
Auch der Raum aller Polynome maximal 2. Grades ist ein 2D-Raum mit den drei Richtungen 1, x und x².
Innerhalb des unendlichdimensionalen Funktionenraums, dessen Unterraum unser Polynomraum ist, ist beispielsweise x² ein Vektor, dessen Komponenten einfach in einem ganz bestimmten Verhältnis stehen.
Ähnlich wie bei dem Vektor aus dem ℝ¹¹,
(–25;–16;–9;–4;–1; 0; 1; 4; 9; 16; 25).
Das ist ein Vektor, und der hat auch keinen Knick und ist auch nicht krumm.
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Vektorräume sind auch niemals gekrümmt. Gekrümmt sein können nur so genannte Mannigfaltigkeiten, Verallgemeinerungen von Flächen. In 2D beispielsweise kann eine Fläche sehr wohl gekrümmt sein, nicht aber eine Ebene.
Ok soweit versteh ich jetzt langsam worauf ihr alle raus wollt. Aber trotzdem blick ich nicht wie diese definition richtig sein kann ich hätte dafür jetzt p(x) = a_1 * (1, 0, 0, 0) + a_2 * (0, x, 0, 0) + a_3 * (0, 0, x², 0) + a_4 * (0, 0, 0, x³) geschrieben. Auf die andere art hät ich ja immer noch eine Menge von skalaren und die können doch keinen Raum bilden?
Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums.
Ein Vektorraum ist eine Menge V und ein Körper K mit zwei Verknüpfungen V × V → V und K × V → V, die noch an bestimmte Bedingungen geknüpft sind.
Jede Menge und jeder Körper, die zusammen diese Bedingungen erfüllen, bilden einen Vektorraum.
z.B. die n-Tupel aus der Menge des |R^n und dem Körper der reellen Zahlen.
Oder eben die Menge der Polynome vom Grad < n mit den reellen Zahlen.
Wenn du die Definition eines Vektorraumes kennst, wo ist das Problem? In der Schule lernt man, dass "Vektoren" übereinander (oder nebeneinander) geschriebene Tupel von Zahlen sind, aber diese dumme Definition lassen wir jetzt weg, du weißt doch aus der Definition selbst, dass es sich bei einem Vektorraum einfach nur um eine abelsche Gruppe + distributive Wirkung eines Körpers auf der Gruppe handelt.
In der Tat, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum (über welchem Körper?), mach dir das erst einmal klar. Danach sollte es einfach sein, die Definitionen nachzurechnen.
LG
In der Tat, jede abelsche Gruppe ist ein Vektorraum (über welchem Körper?)
Ist das so? Ich habe diese Aussage jetzt zum ersten Mal gehört, also ein bisschen darüber nachgedacht. Aber ich komme leider nicht darauf, was du meinst.
Meine erste Idee war der Körper mit 2 Elementen (der hat irgendwie immer ne Sonderstellung, warum also nicht?). Aber die positive Charakteristik schließt ihn als Grundkörper für z.B. die ganzen Zahlen aus (nicht alle ganzen Zahlen x erfüllen x + x = 0).
Mit demselben Argument können also alle Körper mit positiver Charakteristik ausgeschlossen werden, also insbesondere alle endlichen Körper.
Und ich habe bislang auch keinen unendlichen Körper gefunden, über dem Z ein Vektorraum ist...
Mir ist bekannt, dass sich jede abelsche Gruppe als ein Modul auffassen lässt, aber deine obige Aussage verstehe ich leider nicht. Kannst du die etwas näher ausführen?
Du hast recht, ich habe Module und Vektorräume verwechselt. Jede abelsche Gruppe ist ein Z-Modul meinte ich eigentlich, jedoch ist Z kein Körper, und damit das Modul kein Vektorraum. Danke für die Verbesserung.
Ein Gegenbeispiel für meine Aussage wäre bereits Z, diese Gruppe ist kein Vektorraum (egal über welchem Körper). Dieser müsste offensichtlicherweise Charakteristik 0 haben (da der Erzeuger "1" von Z keine endliche Ordnung hat), und müsste somit Q enthalten, was sofort zu unüberwindbaren Problemen führt. z.B. dürfte Z keine Primzahlen enthalten, da jeder Q-Vektorraum teilbar ist.
Wenn du dir einen normalen Vektor vorstellst, hat der ja irgendwelche Einträge. Zum Beipiel irgendwie (a, b c) oder so. Hier wird mit der Definition p(x) angegeben, wie du Polynome als Vektoren auffassen kannst: Du kannst einfach die Koeffizienten in einen Vektor schreiben, hier also (a_0, a_1, a_2, a_3). Wenn du also das dazugehörige Polynom haben willst, musst du nur jeweils 1,x,x^2,x^3 an die jeweilige Zeile multiplizieren und die einzelnen Komponenten addieren, dann bekommst du wieder ein Polynom. Das Polynom musst du also im Prinzip erst noch als Vektor darstellen, um die Vektorrechnung (wie du sie vermutlich gelernt hast) anzuwenden.
Bsp.: a) p_1(x) wird dann zu (0, -2, 1, 0) und so weiter.
Für die erste Aufgabe musst du dich allerdings nicht darum kümmern, sondern nur die Vektorraumaxiome zeigen. Das geht sowohl mit dem Polynom in der Schreibweise, in der du normal kennst, als auch mit dem Polynom in Vektorschreibweise. Wichtig ist nur, dass du dir klar machst, dass beide Schreibweisen dasselbe aussagen!
Du sollst zeigen, dass die Menge der Polynome 3. Grades einen Vektorraum über R bilden. Das heisst erst mal, dass die Menge V bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe bilden. f.h. Du musst zeigen,
1. dass die Summe zweier Polynome 3. Grades wieder ein Polynom 3. Grades ist
2- dass es eon neutrales Element gibt (Nullpolynom)
3. dass es zu jrdem Polynom p(x) 3. Grades mit reellen Koeffizienten ein anderes Polynom 3. Krades mit reellen Koeffizienten gibt (in diesem Fall -p(x), so dass die Summe das Bukkpolynom ergibt
4 dass diese Gruppe beldch idt, dass p)x)+q(x) dasselbe ist wie q(x) + p(x)
Ausserdem musst Du zeigen, dass wenn p(x) ein Polynom 3. grades mit reellen Koeffizienten ist, dann ist auch Lamda mal p(x) mit Lamda aus R wieder ein Polynom 3. Grades mit reellen Koeffienten
Und als letztes musst Du zeigen, dass Distributivgesetze gelten, Also
(Lamda + Mü) x p(x) = Lamda x p(x) + Mü x p(x) und
Lamda (p(x)+q(x)) = Lamda x p(x) + Lamda x q(x(
Das heisst erst mal
Ja wie ein vektorraum definiert ist weiß ich. Was mich nur so verwirrt ist das diese Polynome keine Vektoren sind und ich hab gedacht dass das auch eine grundlegende Eigenschaft eines Vektorraumes wäre?
Sie sind keine Vektoren in einem anschaulichen Sinne, wie etwa räumliche Geschwindigkeiten oder Kräfte, alles 3D-Vektorräume.
Ganz allgemein versteht man aber unter einem Vektor etwas, das mit seinesgleichen addiert oder mit einer Zahl (aus dem zugrunde liegenden Körper) multipliziert wieder ein Gebilde derselben Sorte ergibt.
Passt ja: Ein Polynom plus ein Polynom ergibt wieder ein Polynom, ein Polynom mal eine Zahl ergibt ebenfalls wieder ein Polynom.
Es ist eine Basis dieses Vektorraums.