Mathematikolympiade Jahr 64?
Könnte mir bitte jemand sagen wie man die Aufgabe 640714 ( Klassenstufe 7) lösen kann bzw. die Lösungen schicken (Aufgabe Online)
2 Antworten
Falls du tatsächlich an der Lösung der Aufgabe interessiert bist, so könntest du dich noch bis zum 01.11.2024 gedulden. Dann ist die Wettbewerbsrunde vorbei und du kannst die Lösungen auf der Webseite des Wettbewerbs finden...
https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/index.php/aufgaben
Falls du die Lösungen nur abschreiben möchtest... Dann solltest du zumindest angeben, wo du die Lösungen abgeschrieben hast.
Ich persönlich sehe das anders als manche andere Leute... Wie auch im späteren Berufsleben... Erfolgreich sind meist nicht die Leute, die selbst hart arbeiten, sondern die Leute, die andere für einen arbeiten lassen. Man muss nicht alles selbst können, wenn man weiß, woher man die Informationen bekommt. Auch die Fähigkeit, sich Informationen von anderen zu beschaffen, ist eine Fähigkeit. Daher habe ich auch keine Probleme damit, hier einen Lösungsvorschlag aufzuschreiben.
Aber: Es wäre doch gut, wenn du dich an gewisse Standards hältst und das dann auch ordentlich kennzeichnest, woher du die Lösung hast. So ehrlich sollte man sein.
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Zu a):
- An der ersten Stelle hat man 10 Möglichkeiten (für die Ziffern 0 bis 9).
- Für jede dieser 10 Möglichkeiten hat man jeweils 2 Möglichkeiten für die 2. Stelle („+“ oder „*“), was bis dahin 10 ⋅ 2 = 20 Möglichkeiten ergibt.
- Für jede dieser 10 ⋅ 2 Möglichkeiten hat man jeweils 10 Möglichkeiten für die 3. Stelle (mit den Ziffern 0 bis 9), was bis dahin dann 10 ⋅ 2 ⋅ 10 = 200 Möglichkeiten ergibt.
- An der 4. Stelle muss ein „=“ stehen. Da hat man hier keine Wahlmöglichkeit.
- Die 5. und 6. Stelle sind durch das Ergebnis der an den vorigen Stellen festgelegten Addition bzw. Multiplikation festgelegt. [Tatsächlich ist die höchste Zahl, die man so berechnen kann 9 * 9 = 81, womit man tatsächlich höchstens zweistellig bleibt. Wenn das Ergebnis 3-stellig wäre, hätte man ein Problem, da man mit der 5. und 6. Stelle nur Platz für ein höchstens zweistelliges Ergebnis hat.] Jedenfalls hat man damit auch an der 5. und an der 6. Stelle hier keine Wahlmöglichkeit.
Ergebnis: Es gibt 10 ⋅ 2 ⋅ 10 = 200 entsprechende Möglichkeiten.
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Zu b):
Bei einer Subtraktion muss die Ziffer an der ersten Stelle größer oder gleich der Ziffer an der dritten Stelle sein. [Sonst wäre das Ergebnis der Subtraktion negativ, was man hier nicht darstellen kann.]
Bei einer 9 an der ersten Stelle hat man 10 Möglichkeiten an der dritten Stelle (mit den Ziffern 0 bis 9). Bei einer 8 an der ersten Stelle hat man 9 Möglichkeiten an der dritten Stelle (mit den Ziffern 0 bis 8). Und so weiter... Demnach kommt man auf 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 Möglichkeiten für die Subtraktion. [Das „-“ an der zweiten Stelle und das „=“ an der 4. Stelle sind bei der Gleichung mit Subtraktion festgelegt. Und die 5. und 6. Stelle sind durch das Ergebnis der Subtraktion festgelegt.]
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Bei einer Division darf an der 3. Stelle keine 0 stehen. Der Dividend an der 1. Stelle muss ein Vielfaches von dem Divisor an der 3. Stelle sein.
- Zum Divisor 1 sind 10 Dividenden (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) möglich.
- Zum Divisor 2 sind 5 Dividenden (0, 2, 4, 6, 8) möglich.
- Zum Divisor 3 sind 4 Dividenden (0, 3, 6, 9) möglich.
- Zum Divisor 4 sind 3 Dividenden (0, 4, 8) möglich.
- Zu den Divisoren 5, 6, 7, 8, 9 sind jeweils 2 Dividenden (0 und der Divisor) möglich.
Damit kommt man bei den Gleichungen mit Division auf 10 + 5 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 32 Möglichkeiten.
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Bei Teilaufgabe b) kommt man demnach auf 55 + 32 = 87 Möglichkeiten.
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Zu c):
Die Stellen 1, 2, 3, 5, 6 können zunächst fast beliebig befüllt werden. (Als Ausnahme hat man nur, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Diese Möglichkeiten muss man ausschließen.) Die Stellen 1 bis 3 liefern dann eine Zahl für die „linke Seite“, die Stellen 5 und 6 eine „rechte Seite“. Je nachdem, ob die linke Seite größer oder gleich oder kleiner als die rechte Seite ist, muss man dann an der 4. Stelle ein „>“ oder „=“ oder „<“ eintragen, damit die Gleichung bzw. Ungleichung korrekt wird.
Man hat nun zunächst 10 ⋅ 4 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 10 = 40000 Möglichkeiten für die Felder 1, 2, 3, 5, 6, wovon man noch die 10 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 Möglichkeiten mit Division durch 0 (also mit „:“ an 2. Stelle und „0“ an 3. Stelle) abziehen muss. Das liefert dann erst einmal 40000 - 1000 = 39000 Möglichkeiten für korrekte Gleichungen oder Ungleichungen.
Da man nur korrekte Ungleichungen zählen möchte, muss man noch die Anzahl der entsprechenden korrekten Gleichungen abziehen. Die Anzahl der korrekten Gleichungen erhält man, indem man die Ergebnisse von a) und b) addiert.
Demnach kommt man dann letztendlich auf 39000 - (200 + 87) = 38713 Möglichkeiten, wenn ich mich nicht verzählt habe.
====== Ergänzung ======
Zur Kontrolle habe ich ein kleines Python-Skript geschrieben, welche alle Möglichkeiten durchgeht, und jeweils zählt, ob die Möglichkeit zu a) oder zu b) oder zu c) passt.
a = 0
b = 0
c = 0
for s1 in "0123456789":
for s2 in "+-*/":
for s3 in "0123456789":
for s4 in ["==", "<", ">"]:
for s5 in " 123456789":
for s6 in "0123456789":
try:
t = eval(s1+s2+s3+s4+s5+s6)
except ZeroDivisionError:
t = False
if t:
if s2 in "+*" and s4 in "==":
a += 1
if s2 in "-/" and s4 in "==":
b += 1
if s4 in "<>":
c += 1
print("a: ", a)
print("b: ", b)
print("c: ", c)
Ergebnis:
a: 200
b: 87
c: 38713
Aber: Es wäre doch gut, wenn du dich an gewisse Standards hältst und das dann auch ordentlich kennzeichnest, woher du die Lösung hast. So ehrlich sollte man sein.
du glaubst wirklich an das Gute im Menschen
Gerade wer Fremdes als Eigenes ausgibt , tut das nicht
(nur in freundschaftlichen Kontexten )
Es gibt mehrere Möglichkeiten:
zweites Feld viertes Feld
+ =
+ <
+ >
- =
- <
- >
* =
* <
* >
/ =
/ <
/ >
Nun trägst Du im ersten Feld eine 0 ein und gehst alle anderen Ziffern im dritten Feld durch. Das fünfte und sechste Feld errechnest Du. Bei den Ungleichungen hast Du da fast immer mehrere Möglichkeiten. Wenn Du mit allen Möglichkeiten durch bist, setzt Du ins erste Feld eine 1 und das Spiel geht von vorne los.
0+0= 0
0+0< 1 bis 99, also 99 Möglichkeiten
0+0> (hier passt nichts)
sind 100 Möglichkeiten
0-0= 0
0-0< 1 bis 99, also 99 Möglichkeiten
0+0> (hier passt nichts)
sind 100 Möglichkeiten
0*0= 0
0*0< 1 bis 99, also 99 Möglichkeiten
0*0> (hier passt nichts)
sind 100 Möglichkeiten
0/0= (hier passt nichts)
0/0< (hier passt nichts)
0/0> (hier passt nichts)
sind 0 Möglichkeiten
zusammen 300 mit der 0 im ersten und der 0 im dritten Feld
0+1= 1
0+1< 2 bis 99, also 98 Möglichkeiten
0+1> 0
sind 100 Möglichkeiten
0-1= (hier passt nichts)
0-1< 0 bis 99, also 100 Möglichkeiten
0-1> (hier passt nichts)
sind 100 Möglichkeiten
0*1= 0
0*1< 1 bis 99, also 99 Möglichkeiten
0*1> (hier passt nichts)
sind 100 Möglichkeiten
0/1= 0
0/1< 1 bis 99, also 99 Möglichkeiten
0/1> (hier passt nichts)
sind 100 Möglichkeiten
zusammen 400 mit der 0 im ersten und der 1 im dritten Feld
jetzt kannst Du im dritten Feld die 2 einsetzen, dann die 3 ...
Vielleicht fallen Dir ja Gemeinsamkeiten auf.
Wenn Du damit fertig bist, kommt ins erste Feld die 1. Und dann die 2 ...