Mathematik: Umgekehrte Kurvendiskussion?
Hallo, Ich habe folgendes Mathematikbeispiel:
Ermittle die Gleichung der Polynomfunktion 3. Grades mit gegebenen Eigenschaften: Die Funktion hat einen Sattelpunkt S(1|4). der Koeffizient von x^3 lautet 1.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen :)
2 Antworten
Hallo,
da der Koeffizient von x³ gleich 1 ist, lautet die allgemeine Form Deiner Funktion f(x)=x³+ax²+bx+c.
Aus der Angabe Sattelpunkt bei (1|4) kannst Du gleich drei Informationen gewinnen:
f(1)=4
f'(1)=0
f''(1)=0
f'(x)=3x²+2ax+b
f''(x)=6x+2a
Aus dem letzten folgt: f''(1)=6+2a=0, also: 2a=-6, a=-3
Einsetzen in f'(1):
3-6+b=0, b=3
Einsetzen in f(4):
1-3+3+c=4, c=3
Zusammenbauen:
f(x)=x³-3x²+3x+3
f'(x)=3x²-6x+3
f''(x)=6x-6
Herzliche Grüße,
Willy
Dann musst du aus den Gleichungen die Matrix herstellen und damit das Gleichungssystem lösen.
Brauch ich für eine Gleichung 3. Grads nicht normalerweise 4 Infos?
Mein Weg ist im Prinzip das Gleiche in Grün, nur ein wenig abgekürzt.
Wichtig ist doch nur, daß Du aus den Angaben die richtigen Informationen ziehst.
Du hast erst einmal vier Unbekannte, nämlich die Parameter vor x³, x², x und die Zahl ohne x.
Eine Unbekannte fliegt gleich raus, weil ja bereits in der Aufgabenstellung angegeben ist, daß vor x³ eine 1 steht, also im Grunde nix.
Bleiben noch drei Unbekannte a, b und c:
f(x)=x³+ax²+bx+c
Nun hast Du drei weitere Angaben, mit denen Du den Rest berechnen kannst, nämlich f(1)=4, f'(1)=0, f''(1)=0
Wenn Du unbedingt eine Matrix brauchst:
f(1): 1+a+b+c=4
f'(1): 3+2a+b=0
f''(1): 6+2a=0
Daraus bastelst Du folgende Matrix:
1 1 1 3
2 1 0 -3
2 0 0 -6
a=-3
b=3
c=3
y=x³+bx²+cx+d
f(1)=4
f ' (1)=0
f " (1)=0
Wir haben es in unserer Schule mit Matrizen gelernt, daher verstehe ich den Lösungsweg nicht wirklich :/