Mathematik-Rationale u. Irrationale Zahlen?
Warum kann 1,732050808 nicht die Quadratwurzel aus 3 sein?
Dangee schon mal.
5 Antworten
Einerseits ist 1,732050808 eine rationale Zahl. Denn diese Zahl lässt sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben...
1,732050808 = 1732050808/1000000000
Andererseits ist √(3) eine irrationale Zahl.
Für einen Beweis siehe beispielsweise:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel_aus_3#Beweis_der_Irrationalität
Wäre nun 1,732050808 = √(3), so wäre 1,732050808 bzw. √(3) zugleich rational und irrational, was aufgrund der Definition von irrationalen Zahlen nicht sein kann. Demnach muss also 1,732050808 ≠ √(3) sein.
============
1,732050808 ist nur ein auf 9 Nachkommastellen gerundeter Näherungswert der Zahl √(3). Dieser Näherungswert liegt relativ nahe an dem exakten Wert von √(3), ist aber eben nicht genau gleich √(3).
Dementsprechend sollte man bei einer entsprechenden Angabe auch eher das „fast gleich“-Zeichen (≈) verwenden, statt dem Gleichheitszeichen (=).
Eine weitere Begründung, warum 1,732050808 nicht gleich √(3) ist...
Wäre 1,732050808 gleich √(3), so müsste 1,732050808 quadriert die Zahl 3 ergeben.
Es ist jedoch 1,732050808² = 3,000000001493452864 ≠ 3.
Die Wurzel aus 3 ist irrational, d.h., sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen (oder zweier anderer rationaler Zahlen, was über “Umwege“ aufs gleiche hinaus läuft) darstellen. Eine äquivalente Formulierung ist, dass sie ein nichtperiodischer Bruch ist. Bei einem periodischen wiederholen sich am Ende immer die gleichen Ziffern ad infinitum, wobei natürlich auch die 0 möglich ist. Bei Deinem Beispiel kommt am Ende Periode 0.
Weil die letzte Nachkommastelle eine 8 ist. Wenn man 1,....8 im Quadrat nimmt kommt als letzte Stelle die 4 raus.
Damit am Ende 3,0000... rauskommt müsste die letzte Stelle die 0 sein.
Dann kann man die aber weglassen, damit ist die vorletzte Stelle wichtig. Ist die wieder ungleich 0, geht es wieder nicht auf. Und so weiter.
Daran sieht man, die Wurzel einer ganzen Zahl ist entweder ebenfalls eine ganze Zahl, oder hat unendlich viele Nachkommastellen.
Wurzel 3 ist irrational und daher nicht als Zahl mit endlichen Nachkommastellen darstellbar. Das schließt dann insbesondere deine Zahl aus. Natürlich kann man annähern, aber das kann dann eben nicht mit einem "=" - Zeichen ausgedrückt werden.
Grüße
Weil es nicht 3 ergibt, sondern 3,000000001. Die Wurzel von 3 ist irrational, sprich sie hat kein Ende