Wie kann ich wissen ob diese Quadratwurzel ein rational oder irrational Zahl ist?
Z.B. qudratwurzel 17 ist 4,1 ( und ist irrational) ich hab Taschenrechner genutzt aber wie kann ich das schriftlich oder im Kopf rechnen?
3 Antworten
Quadratwurzeln aus irrationale Zahlen sind immer irrational. Quadratwurzeln aus negativen Zahlen sind nicht reell. Die Quadratwurzel aus 0 ist 0, also rational.
Also müssen wir uns nur noch mit Wurzeln aus positiven rationalen Zahlen beschäftigen. Eine rationale Zahl lässt sich stets als Bruch darstellen.
Man zerlegt den Zähler und auch den Nenner in Primfaktoren. Wegen 1/x = x^(-1) wertet man die Exponenten (also die Anzahlen) der Primfaktoren des Nenners negativ. Letztendlich müssen alle Exponenten geradzahlig sein, weil sie sich beim Wurzelziehen halbieren.
Das hört sich ziemlich kompliziert an, deshalb ein Beispiel:
Zu testen ist Wurzel(18/50)
18 = 2 * 3 * 3 = 2^1 * 3^2
50 = 2 * 5 * 5 = 2^1 * 5^2
Bei der Division subtrahiert man die Exponenten.
18/50 = 2^0 * 3^2 * 5^(-2)
Die sind alle geradzahlig, also kann man die Exponenten halbieren und das Ergebnis ist rational:
Wurzel(18/50) = 3^1 * 5^(-1) = 3/5
Sobald bei der Division ungerade Exponenten auftreten, ist die Wurzel irrational.
Z.B. qudratwurzel 17 ist 4,1
ist sie nicht , denn 4.1 * 4.1 ist nicht 17 ............du hast gerundet.
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Für ganze Zahlen : Wie man das wissen kann ? 17 liegt zwischen 4*4 (16) und 5*5 (25)........ganze Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen sind immer irrational.
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hier ist es schon schwieriger 2.999823 ........muss man umschreiben zu
für den Nenner findet man 1731 * 1731 = 2996361 und 1732 * 1732 = 2999824
liegt dazwischen , auch irre .
(4,1)² ist nicht 17.
Eine rationale Zahl kannst du mit einem Bruch darstellen; irrationale nicht. Wenn du einen Bruch aus teilerfremden Zähler und Nenner findest, der im Quadrat 17 ergibt, dann ist Wurzel17 eine rationale Zahl.