Matheaufgabe für mich unlösbar....für dich?
Es handelt sich um eine Aufgabe aus dem Lambacher Schweizer 9 für Gymnasien Wer kann sie lösen? (S. 189 Nr. 16 / b)
UM WIE VIEL PROZENT IST DER FLÄCHENINHALT DES ÄUßEREN KREISES GRÖßER ALS DER DES INNEREN? (Falls unlesbar, bezieht sich auf die Abbildung links auf dem FOTO)
8 Antworten
Hallo,
teile das Quadrat in vier gleich große Quadrate auf.
Kantenlänge eines kleinen Quadrats gleich Radius des kleinen Kreises gleich a.
Diagonale eines kleinen Quadrats gleich Radius des großen Kreises gleich
Wurzel (2) mal a.
Der Radius des großen Kreises ist also Wurzel (2) mal der Radius des kleinen Kreises.
Da sich Kreisflächen über das Quadrat des Radius berechnen, verhält sich der große zum kleinen Kreis wie 2a² zu a², hat also eine doppelt so große Fläche. (Pi kürzt sich wie r² raus).
Die kleine Kreisfläche hat also 50 % der großen Fläche.
Herzliche Grüße,
Willy
Pythagoras.
Zwei Seiten eines Quadrates bilden zusammen mit der Diagonale ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.
Seite=a=Kathete
Hypotenuse=Diagonale=Wurzel aus (a²+a²)=Wurzel aus (2a²)
a² kannst Du aus der Wurzel herausziehen und bekommst so als Maß für die Diagonale a*Wurzel (2)
Du sollst ja den äußeren Kreis am inneren messen. Also ist der innere Kreis der Maßstab. Dazu würde ich den Radius des inneren Kreises mit r bezeichnen.
Skizze machen! Radius des inneren Kreises und des äußeren Kreises einzeichnen. Mach Dich auf die Suche nac einer Beziehung dieser beiden Größen. (Tipp: Dabei müsstest Du auf den Satz des Pythagoras stoßen).
Nun beide Flächeninhalt ausrechnen (in Abhängigkeit von r) und anschließend ins Verhältnis setzen. Dann kommt ein bestimmter Wert heraus, den Du als Prozentsatz (müsste über 100 % sein!) interpretierst.
Nun weißt Du, um wieviel der äußere Kreis größer ist.
Zitat: "...(müsste über 100 % sein!)..." → es sind genau 200%, also ist große Kreis um exakt 100% größer als der kleine!
Wenn a die Kantenlänge des Quadrats ist, hat der innere Kreis den Durchmesser a und der äußere den Durchmesser Wurzel (2)*a.
Jetzt kannst du den Flächeninhalt der beiden Kreise ausrechnen und ins Verhältnis setzen. a kürzt sich dabei heraus.
Die Diagonale des Quadrats ist der Durchmesser des (äußeren) Umkreises, ein Seite der des inneren Kreises.
Über den Satz des Pythagoras setzt die Durchmesser oder Radien ins Verhältnis.
Quadrat:
a^2 + a^2 = d^2
mit a = 2 ri und d = 2 ra
=> 2 (2 ri)^2 = (2 ra)^2
Das stellst nach ri oder ra um und berechnest daraus die Kreisflächen.
Hey, man rechnet die Aufgabe mithilfe des Satz des Pythagoras aus.
Wir rechnen jetzt mal zur veranschaulichung mit richtigen Werten.
Nehmen wir mal an, der kleine Kreis, ist der Einheitskreis.
Das heißt, der Radius ist 1.
Wenn der Radius vom kleinen Kreis 1 ist, dann der Durchmesser 2, auf dem Bild erkennt man gut, dass die Seitenlängen des Würfels mit dem Durchmesser identisch sind.
Also haben wir auch die Maße des Würfels raus, er ist 2 × 2 groß.
Die Strecke von der Ecke unten links bis zur Ecke oben rechts, ist gleichzeitig der Durchmesser des großen Kreises, sieht man auch gut.
Diese Strecke kann man mithilfe des Satz des Pythagoras rausfinden.
2² + 2² = 8 = | = der Durchmesser beträgt Wurzel(8).
Wenn der Durchmesser Wurzel(8) beträgt beträgt der Radius (Wurzel(8)/2).
Das in die Formel einsetzen r²*pi und wir kriegen ein Ergebnis raus.
Um raus zu finden wieviel Prozent das großer ist als das andere, einfach die Ergebnisse durcheinander teilen und dann mal 100%
Danke, nur noch eine Frage: Woran legst du fest, dass Die Diagonale eines kleinen Quadrats Wurzel (2) * a ist?
Das verstehe ich noch nicht so ganz