Mathe Wahrscheinlichkeit *Schatzkiste*?
Hallo, eine eventuell sehr leichte Mathe-Frage, erscheint mir momentan als zu einfach.
Lena: hat 6 Schlüssel, sie möchte eine Schatzkiste öffnen, doch nur ein Schlüssel passt. Mit wie vielen Versuchen muss Lena rechnen, bis sie die Kiste geöffnet hat?
Das wären doch 6 Versuche ?!
4 Antworten
Es geht hier wohl um den Erwartungswert. Das heißt, du sollst bestimmen, wie viele Versuche Lena wohl im durchschnitt bräuchte.
6 Versuche bei 6 Schlüsseln im Durchschnitt ist also falsch.
Da alle Schlüssel wohl gleich sind und hier nicht unterschieden wird, handelt es sich scheinbar um ein Laplace-Experiment. Das heißt, alle Schlüssel haben die gleiche Wahrscheinlichkeit von p=1/6, der richtige Schlüssel zu sein.
Nun musst du den Erwartungswert E(x) berechnen, sofern ich die Aufgabe nicht falsch verstanden habe.
Wenn das tatsächlich so explizit drin steht, gebe ich dir klar recht, das wusste ich jetzt nicht. Natürlich kann es sein, dass erst der 6. Schlüssel passt.
Ansonsten kann es ja nur noch eine Fangfrage sein.
Darf ich fragen, in welcher Stufe / Klasse du bist?
Ja, ich denke auch, das dies eine Fangfrage ist. Ich besuche die 11. Klasse. Vielen Dank.
Dann denke ich es auch. In der 11. Klasse ist das ja wohl keine ernste Frage. Die soll vielleicht irgendwas zeigen oder typischerweise einfach verwirren.
ist keine fangfrage , aber nicht so einfach . Jedenfalls beschäftigt sie gerne mal die Matheforen.
Mag von der Definition her keine Fangfrage sein, aber es ist für mich schon alleine eine, weil sie eben viel zu einfach ist - vor allem für eine 11. Klasse. Er/Sie hat die Frage ja auch instinktiv richtig beantwortet und trotzdem hier gefragt und alles. Zählt für mich schon.
Wieviele Versuche hat sie zu erwarten ? Da ist nach einem Erwartungswert gefragt.
Jetzt braucht man die geeignete Zufallsvariable : Hier : Anzahl der Versuche (AV).
Der Wertemenge der Zufallsvariable AZ ist ( 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 )
Nur eine von den sechs Möglichkeiten kann eintreten.
Jetzt braucht man noch die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Es ist das Urnenmodell ohne Zurücklegen.
p ( AV = 1 ) = 1/6
p (AV = 2 ) = 5/6 * 1/5 = 1/6
p (AV = 3 ) = 5/6 * 4/5 * 1/4 = 1/6
p ( AV = 4 ) = 5/6 * 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/6
p ( AV = 5 ) = 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/6
p ( AV = 6 ) = 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1/1 = 1/6
..................................
Der Erwartungswert ist definiert als die Summe aller Produkte der jeweiligen Werte der Zufallsvariablen und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit
i geht von 1 bis 6 und x ist hier AV
Also schreibt man mit den obigen Werten
1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6
Diese Summe ist 3.5 und damit der Erwartungswert.
Lena muß mit durchschnittlich 3,5 Versuchen rechnen .
Statistisch gesehen sind 3 Versuche nötig.
statistisch gesehen , sind nicht 3 Versuche nötig, statistisch gesehen , braucht es durchschnittlich 3,5 Versuche , wenn man dieses Problem unendlich oft wiederholt.
Aber rechnen muss sie doch trotzdem mit 6 Versuchen oder nicht?! Denn es gilt: 1. Versuch fehlgeschlagen 2. Versuch fehlgeschlagen... 6. Versuch Schlüssel passt.
6 Versuche braucht sie, wenn es extrem schlecht läuft - und das ist unwahrscheinlich. Genauso wahrscheinlich/unwahrscheinlich ist, dass sie im ersten Versuch den richtigen Schlüssel erwischt. Daher 3.
Das Problem ist : sie kann zwischen 1 und 6 Versuche brauchen : Was du "rechnen mit 6 Versuchen " nennst heißt ,daß sie schlimmstenfalls 6 braucht, andererseits sind 1 bis 5 Versuche ebenso möglich .
Ganz klar: 0 Versuche. Lena lässt die 6 Schlüssel einfach liegen und kramt ihre Brechstange raus. Kein Schlüssel versucht, Kiste offen. ^^
Okay, jetzt aber mal im Ernst:
So, wie die Aufgabe gestellt ist: Ganz klar 6 Versuche. (Es könnte der erste sein, aber auch der letzte)
Sollte aber vom Verfasser der Aufgabe etwas anderes gemeint und nur etwas missverständlich aufgeschrieben worden sein, dann siehts u.U. ganz anders aus:
- Erwartungswert: 3,5 Versuche ((1+2+3+4+5+6)*(1/6)=3,5 ; da es keine halben Versuche gibt und der Teilversuch >= 0,5 liegt: 4)
- Anzahl der Versuche bis der nächste mit mindestens 50% passt: 3 (denn 1/6+1/5+1/4 = 0,616.....)
Statistisch gesehen ist also spätestens der 4. Schlüssel mit hoher Wahrscheinlichkeit der passende. Aber allerspätestens beim 6. liegt die Wahrscheinlichkeit bei 100,0% (ausser es gibt noch einen versteckten 7. Schlüssel ^^).
4 ist nicht so richtig . 4 suggeriert , es wären 4 . Es sind eben mal 3 mal 4 Versuche , daher ist 3,5 als Erwartungswert mathematisch und auch praktisch richtig .
Erwartungwerte zeichnen sich oft dadurch aus, daß sie Wert ergeben, die real nicht erzielt werden können.
Beispiel : Ein Würfel mit acht ! Seiten ( 1- 8 Punkten ) bringt den Spieler in einem Spiel durchschnittlich 4,5 Felder weit. Bei vier Würfen also durchschnitlich 18 Felder.
Ansonsten gilt : P ( 1 , 2 , 3 oder 4 Versuche ) ist 4/6
In der Aufgabe steht allerdings explizit, dass man die Versuche mit denen sie rechnen muss, angeben soll. Und sie MUSS ja damit rechnen, dass erst der 6. Schlüssel passt.