[Mathe] So weit wie möglichen vereinfachen - Tipps?

Guten Tag,

ich benötige noch ein bisschen Hilfe, um solche Aufgaben besser lösen zu können. Ich freue mich sehr auf eure hilfreichen und leicht verständlichen Antworten mit euren Tipps.

Answer 1

[mihisu]

Zur ersten Aufgabe... Da würde ich einfach ausmultiplizieren... (Beim vorderen Bruch kann man dann mit p kürzen.)

$\frac{p}{2}\cdot \left(\frac{3}{p}+\frac{p}{2}\right)=\frac{p}{2}\cdot \frac{3}{p}+\frac{p}{2}\cdot \frac{p}{2}=\frac{p\cdot 3}{2\cdot p}+\frac{p\cdot p}{2\cdot 2}=\frac{3}{2}+\frac{p^2}{4}$

Zur zweiten Aufgabe, da kann man den Hauptbruch mit x und mit y erweitern, damit die Brüche im Zähler des Hauptbruches verschwinden. Danach wirst du vielleicht merken, dass man dann noch mit y - x kürzen kann.

$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{y-x}=\frac{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\cdot x\cdot y}{\left(y-x\right)\cdot x\cdot y}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x\cdot y-\frac{1}{y}\cdot x\cdot y}{\left(y-x\right)\cdot x\cdot y}=\frac{y-x}{\left(y-x\right)\cdot x\cdot y}=\frac{1}{x\cdot y}$

Bzw. könnte man das auch so sehen, dass man bei der Differenz 1/x - 1/y die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt, um die Subtraktion der Brüche durchführen zu können. Dementsprechend kann man 1/x mit y zu y/(x⋅y) und 1/y mit x zu x/(x⋅y) erweitern, dass man bei beiden Brüchen einen gemeinsamen Nenner x⋅y erhält.

$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{y-x}=\frac{\frac{y}{x\cdot y}-\frac{x}{x\cdot y}}{y-x}=\frac{\ \ \frac{y-x}{x\cdot y}\ \ }{y-x}=\ldots$

Danach könnte man mit der Rechenregel

$\frac{\ \ \frac{a}{b}\ \ }{c}=\frac{a}{c\cdot b}\quad\text{ wegen }\quad \frac{\ \ \frac{a}{b}\ \ }{c}=\frac{\frac{a}{b}\cdot b}{c\cdot b}=\frac{a}{c\cdot b}$

weiterarbeiten. Das führt dann wieder zu (y - x)/((y - x) ⋅ x ⋅ y), wo man dann mit y - x kürzen kann.

$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{y-x}=\frac{\frac{y}{x\cdot y}-\frac{x}{x\cdot y}}{y-x}=\frac{\ \ \frac{y-x}{x\cdot y}\ \ }{y-x}=\frac{y-x}{\left(y-x\right)\cdot x\cdot y}=\frac{1}{x\cdot y}$

Answer 2

[R4c1ngCube]

Vereinfachen funktioniert in 2 Schritten:

1. Alles in eune Form bringen sodass möglichst viel miteinander verrechnet werden kann

2. Eine möglichst kompakte Form finden durch zusammenfassen, faktorisieren (binomische Formeln, Ausklammern etc.)

Für beides gibt es eine Liste an Tricks die man anwenden kann. Zu sehen wann man die anwenden kann ist Übung. Aber im Prinzip ist es einfach überlegen "Was passiert wenn ich diesen Trick mache, könnte mir das Ergebnis irgendwas für einen weiteren Trick bringen"

Hier eine Liste von Tricks für den ersten Schritt:

- Ausmultiplizieren (hilft manchmal, da das sozusagen alles in die kleinsten Bestandteile zerlegt. Diese einzelnen Bestandteile lassen sich dann am ehesten miteinander verrechnen - manchmal aber auch nicht, dann ist die faktorisierte Version besser)

- Auf den gleichen Nenner bringen (Hilft da man so mehrere Brüche miteinander verrechnen kann, fast immer empfehlenswert)

- *(-1) rausziehen um die Subtraktionsreihenfolge zu ändern (bsp (x-a)/(a-x) = -1

- Gemeinsame Faktoren ausklammern um zu kürzen

- Konjugierte verwenden also 1/(a+b) multiplizieren mit (a-b)/(a-b) um unten die 3. binomische Formel verwenden zu können, das ist vorallem bei Wurzeln und imaginären Zahlen hilfreich

- Potenzgesetze verwenden um gemeinsame Faktoren rauszuziehen, hilft falls man Sachen kürzen kann

- Wurzeln rationalisieren (nach oben bringen): 1/W(x) = W(x) / x, hilft wenn die Wurzel unten das Zusammenfassen stört

- Manchmal hilft es zB Additionstheoreme anzuwenden oder trigonometrische Funktionen periodisch zu verschieben oder Logarithmengesetze zu verwenden um Faktoren rauszuziehen oder um aus einer log-Subtraktion einen Bruch zu machen u Ä. Es gibt auch noch weitere Möglichkeiten, wie Polynomdivision, Koeffizientenvergleich etc. aber das soll nur ein Ausblick sein, was es sonst noch so gibt

Für diese beiden Aufgaben werden nur 2 oder 3 dieser Tricks benltigt. Vielleicht findest du ja heraus, welche.

Answer 3

[Uwe65527]

Beim ersten multiplizierst Du die Klammer aus und kürzt die Summanden.

$\frac{p}{2}\left(\frac{3}{p}+\frac{p}{2}\right)=\frac{3p}{2p}+\frac{p^2}{4}\ =\frac{3}{2}+\frac{p^2}{4}$ Beim Zweiten erweiterst Du bildest Du im Zähler den Hauptnenner xy:

$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{x-y}=\frac{\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}}{x-y}=-\frac{x-y}{\left(x-y\right)xy}=-\frac{1}{xy}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.

Answer 4

[Florabest]

Die erste: Klammer ausmultipliuieren, dann die einzelnen Brüche kürzen.

Die zweite: die Regeln beachten die für die Division von Brüchen gelten. Dann due beiden einzelnen Brüche auf den Hauptnenner bringen. Das ganz wird nicht besonders schön, aber man bekommt diese Doppelbrüche weg.