[Mathe] Potenzaufgabe ohne Taschenrechner lösen?
Guten Abend,
wie würdet ihr diese Aufgabe ohne Taschenrechner lösen?
32 = 8^x, was ist x ungefähr?
Antwortmöglichkeiten:
A: 1,4
B: 1,5
C: 1,66
D: 4
E: 2,33
Ich freue mich auf eure hilfreichen Antworten.
7 Antworten
32 und 8 sind beides 2er-Potenzen, nämlich 32 = 2⁵ und 8 = 2³. Damit erhält man dann...
Ein Vergleich der Exponenten (bzw. Logarithmieren mit Logarithmus zur Basis 2) liefert...
Division durch 3 liefert dann schließlich...
Antwortmöglichkeit C kommt dem am nächsten.
Wenn man bei
2^5 = 2^(3x)
den Logarithmus zur Basis 2 anwendet, erhält man
log₂(2^5) = log₂(2^(3x))
Der Logarithmus zur Basis 2 als Umkehrung zum Exponentieren mit Basis 2 definiert, sodass sich das nun gegenseitig aufhebt. [Analog dazu wie sich beispielsweise eine Division durch 2 mit einer Multiplikation mit 2 gegenseitig aufheben und dementsprechend bei a/2 * 2 dann a übrig bleiben würde.] Übrig bleibt hier nun...
5 = 3x
Er hat es doch ausführlich seine Herleitung erklärt.
8 = 2^3
32 = 2^5
Sowas kann man schon wissen, gerade im Bereich der Informatik (Binär) ist das Grundwissen. Aber auch sonst könnte man darauf kommen, dass es immer Verdoppelungen sind:
1 = 2^0 -> 2 = 2^1 -> 4 = 2^2 -> 8 = 2^3 -> 16 = 2^4 -> 32 = 2^5 -> ...
Man kann auch ganz banal und pragmatisch auf Basis der angebotenen Antworten sich rantasten. Eine 2,xx wäre bereits zu groß, weil das Ergebnis sonst über 64 wäre. Da scheidet schon mal D und E als Möglichkeit aus.
Die 1,5 lässt sich sehr leicht als Bruch darstellen; 3/2. Etwas Hoch 3/2 ist das gleiche wie die 2. Wurzel von Etwas hoch 3, d.h. in diesem Fall
√(8^3) = √(8•8•8) = √512
Auch hier kann man sich annähern. Die Wurzel von 500 und paar zerquetschen kann nicht über 30 sein, denn sonst stünde unter Wurzel irgendwas über 900.
Deshalb muss die 3/2 bzw. 1.5 als Exponent bereits zu niedrig sein. Dadurch kann es nur noch 1.66 sein.
8^x = (2^3)^x = 2^(3x) != 32 —> 3x = 5, x = 5/3 ~ 1,67
Das ist natürlich die beste Lösung und wie du an der Umstellung der Gleichung siehst, ist das phne TR gelöst worden. Im Studium lernt man die 2er Potenz auswendig bzw. es ist sowieso sehr leicht zu merken. 32 ist 2^5.
machen wir es kurz
Lang lebe das Wissen um die Potenzen von 2 und die Potenzregel, die das Potenzieren einer Potenz klar macht .
.
Da
32 = 2^5 und 8 = 2^3 hat man hier nur noch das Problem
(2^3)^? = 2^5
was man sofort mit ? = 5/3 erledigt
5/3 = 1 + 2/3 = nicht 1.66, was man aber trotzdem wählen muss.
8^(1,5) = 8^(3/2) = 8^3^0,5(Wurzel aus 8^3)
Das ergibt ca. 22 ~ 23.
D.h. alles unter 1,5 ist zu klein.
8^2,33 = 8^7/3 = 8^7^0,33 (die dritte Wurzel aus 8^7) jetzt müsste man 8^7 berechnen und schauen, ob sich 32^3 annähert. Ist das der Fall, hast du deine Lösung, ansonsten kann es nur noch C: 1,66 sein.
Ich verstehe, dass links und rechts neben dem Gleichheitszeichen die Summe gleich sein muss und damit 5 = 3x sein muss. Ich würde es aber sehr gerne noch verstehen inwiefern man hier den Logarithmus anwendet (um auf 5 = 3x rechnerisch zu kommen). Kannst du mir das vielleicht ganz ausführlich erklären, wie genau diese Rechenregel funktioniert? 🙋♂️