Mathe Reihenkonvergenz?

Wie wurde diese Reihe in eine geometrische Reihe umgeformt?

Und wieso wurde hier nicht das Quotientenkriterium angewendet? Würde das auch hier gehen?

Vielen Dank!

Answer 1

[mihisu]

Wie wurde diese Reihe in eine geometrische Reihe umgeformt?

Beispielsweise so...

$s_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{3^{i+1}}{5^{i-1}}$

Zunächst einmal wurde eine Indexveschiebung mit i[neu] = i[alt] - 1durchgeführt, damit die Reihe bei 0 (= 1 - 1) als neuer unterer Indexgrenze beginnt. Die neue obere Indexgrenze ist dann n - 1. Außerdem hat man dann mit i statt i - 1 einen einfacheren Exponenten bei der 5er-Potenz im Nenner. Beim Exponenten der 3er-Potenz erhält man dann i + 2 (= i + 1 + 1) statt i + 1.

$s_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{3^{i+2}}{5^{i}}$

Dann kann man entsprechend Rechenregel für Potenzen die Potenz 3^(i+2) in 3^i ⋅ 3² aufteilen.

$s_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{3^i\cdot 3^2}{5^i}$

3² = 9

$s_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{3^i\cdot 9}{5^i}$

Den konstanten Faktor 9 kann man aus der Summe ausklammern.

$s_n=9\cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{3^i}{5^i}$

Dann kann man entsprechend Rechenregel für Potenzen 3^i/5^i zu (3/5)^i zusammenfassen.

$s_n=9\cdot\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(\frac{3}{5}\right)^i$

============

Und wieso wurde hier nicht das Quotientenkriterium angewendet? Würde das auch hier gehen?

Das Quotientenkriterium würde hier genauso gehen. Wie so oft: Es gibt mehrere verschiedene Lösungswege, die zum richtigen Ergebnis führen.

$s_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\underbrace{\frac{3^{i+1}}{5^{i-1}}}_{a_i}$

Wegen

$\left\lvert\frac{a_{i+1}}{a_{i}}\right\rvert = \left\lvert\frac{\quad\frac{3^{i+2}}{5^{i}}\quad}{\quad\frac{3^{i+1}}{5^{i-1}}\quad}\right\rvert=\left\lvert\frac{3}{5}\right\rvert=\frac{3}{5}<1$

für alle natürlichen Zahlen i ist die Reihe nach Quotientenkriterium absolut konvergent.

Answer 2

[bagger224]

Wie wurde diese Reihe in eine geometrische Reihe umgeformt?

1. die 9 wurde vor die Summe gezogen
2. es wurde ein Indexshift gemacht

Und wieso wurde hier nicht das Quotientenkriterium angewendet?

So unbefriedigend die antwort auch ist: weil es auch anders geht.

Würde das auch hier gehen?

Ja

Answer 3

[DerRoll]

Es wurde oben eine 3² = 9 vor den Bruch gezogen, dann wurde in der Summe eine Indexverschiebung gemacht. Warum soll man das Quotientenkriterium (das auf der geometrischen Reihe als konvergente Mayorante beruht) anwenden wenn man doch sowieso weiß dass die geometrische Reihe für |q| < 1 konvergent ist?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.