Wie wäre die geometrische Reihe für 0,9+0,09+0,009+…=1?

Wie würde diese Reihe lauten und wieso genau? Ich würde das gerne so genau wie möglich wissen:)

MfG

Answer 1

[eterneladam]

a0 * q + a0 * q^2 + a0 * q^3 + .....

n-te Partialsumme:

a0 * q * (1 - q^(n+1) ) / (1 - q)

Die "reine" geometrische Reihe ist 1 + q + q^2 + ....

Im Fall 0.9999.... muss man aufpassen, dass die Summe bei n=1 beginnt und einen Vorfaktor a0 = 9 hat.

Answer 2

[KaterKarlo2016]

Die geometrische Reihe für 0,9+0,09+0,009+... kann wie folgt ausgedrückt werden:

S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Diese Reihe ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem ersten Glied a = 0,9 und dem Verhältnis q = 0,1.

Wir wissen, dass eine geometrische Reihe S mit dem ersten Glied a und dem Verhältnis q die folgende Summenformel hat:

S = a / (1 - q)

Also können wir die Werte für a und q in diese Formel einsetzen, um die Summe S zu finden:

S = 0,9 / (1 - 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1

Daher lautet die geometrische Reihe für 0,9+0,09+0,009+...=1.

Comments

[Essieessie]

Das klingt super ,aber was ist wenn ich nicht den Grenzwert sondern nur die 5. Oder 10. Summe finden möchte?

Answer 3

[ChrisGE1267]

Geometrische Reihe:

Sum_n=0^infty q^n = 1+q+q^2+q^3+… = 1/(1-q) für q<1,

hier:

0,999… = 9*(1/10)+9*(1/100)+9*(1/1000)+… = 9*((1/10)+(1/10)^2+(1/10)^3+…)

=9/10*(1+(1/10)+(1/10)^2+…) = 9/10 * 1/(1-1/10) = 9/10 * 1/(9/10) = 9/10 * 10/9 = 1

mit q = 1/10 < 1…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 4

[Jangler13]

Ziehe den Faktor 9 nach vorne und überlege dir dann, wie sich das Muster für die Summanden aussieht und bilde daraus die Geometrische Reihe.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Comments

[Essieessie]

Wieso kann ich nicht die Formel a0*(1-q^n+1)/1-q^n benutzen um zb bei der dritten Partial Summe auf 0,999 zu kommen

[Jangler13]

@Essieessie

Wo behaupte ich, dass du das nicht kannst? Du erhälst damit aber nur den Grenzwert, nicht die Reihe an sich.

[Essieessie]

@Jangler13

Hab das gerade ausprobiert ,da kommt eben nur 0,0009 raus anstatt mein gewollter wert 0,9999 . Vielleicht hab ich meine Frage falsch ausgedrückt. Weist du vielleicht da wie ich drauf komme ?

[Jangler13]

@Essieessie

Vielleicht solltest du dann deine Frage erst richtig formulieren, damit klar ist, was du überhaupt willst?

[ShimaG]

@Essieessie

Das liegt daran, dass deine Formel falsch ist. Es wird durch (1-q) dividiert, nicht durch (1-q^n). Außerdem hilft es, Klammern zu setzen.

[Essieessie]

@ShimaG

Du hast mich gerettet,vielen Dank!