Wie wäre die geometrische Reihe für 0,9+0,09+0,009+…=1?
Wie würde diese Reihe lauten und wieso genau? Ich würde das gerne so genau wie möglich wissen:)
MfG
4 Antworten
a0 * q + a0 * q^2 + a0 * q^3 + .....
n-te Partialsumme:
a0 * q * (1 - q^(n+1) ) / (1 - q)
Die "reine" geometrische Reihe ist 1 + q + q^2 + ....
Im Fall 0.9999.... muss man aufpassen, dass die Summe bei n=1 beginnt und einen Vorfaktor a0 = 9 hat.
Die geometrische Reihe für 0,9+0,09+0,009+... kann wie folgt ausgedrückt werden:
S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
Diese Reihe ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem ersten Glied a = 0,9 und dem Verhältnis q = 0,1.
Wir wissen, dass eine geometrische Reihe S mit dem ersten Glied a und dem Verhältnis q die folgende Summenformel hat:
S = a / (1 - q)
Also können wir die Werte für a und q in diese Formel einsetzen, um die Summe S zu finden:
S = 0,9 / (1 - 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1
Daher lautet die geometrische Reihe für 0,9+0,09+0,009+...=1.
Das klingt super ,aber was ist wenn ich nicht den Grenzwert sondern nur die 5. Oder 10. Summe finden möchte?
Geometrische Reihe:
Sum_n=0^infty q^n = 1+q+q^2+q^3+… = 1/(1-q) für q<1,
hier:
0,999… = 9*(1/10)+9*(1/100)+9*(1/1000)+… = 9*((1/10)+(1/10)^2+(1/10)^3+…)
=9/10*(1+(1/10)+(1/10)^2+…) = 9/10 * 1/(1-1/10) = 9/10 * 1/(9/10) = 9/10 * 10/9 = 1
mit q = 1/10 < 1…
Ziehe den Faktor 9 nach vorne und überlege dir dann, wie sich das Muster für die Summanden aussieht und bilde daraus die Geometrische Reihe.
Wo behaupte ich, dass du das nicht kannst? Du erhälst damit aber nur den Grenzwert, nicht die Reihe an sich.
Hab das gerade ausprobiert ,da kommt eben nur 0,0009 raus anstatt mein gewollter wert 0,9999 . Vielleicht hab ich meine Frage falsch ausgedrückt. Weist du vielleicht da wie ich drauf komme ?
Vielleicht solltest du dann deine Frage erst richtig formulieren, damit klar ist, was du überhaupt willst?
Das liegt daran, dass deine Formel falsch ist. Es wird durch (1-q) dividiert, nicht durch (1-q^n). Außerdem hilft es, Klammern zu setzen.
Wieso kann ich nicht die Formel a0*(1-q^n+1)/1-q^n benutzen um zb bei der dritten Partial Summe auf 0,999 zu kommen