Mathe Gleichungssystem?

Ich habe hier dieses gleichungs system. Wie löst man so etwas ?

Answer 1

[AusMeinemAlltag]

c = 15a, das kann man schon mal sofort ablesen, indem man die 3-te und 4-te Gleichung miteinander addiert.

Und aus der 3-ten Gleichung folgt dann durch einsetzen:

12a - 2b = 0 folgt dann b = 6a

Und aus der 1-ten Gleichung folgt dann durch einsetzen:

-1a - 6a - 15a + d = 0

d = 22a

Und b, c und d in die 2-te Gleichung einsetzen ergibt dann:

-8a - 24a - 30a + 22a = 2

-40a = 2

a = - 1 / 20

Den Rest schafftst du alleine

Answer 2

[Gottfried757]

(1) -a-b-c-d=0

(2) -8a-4b-2c+d=2

(3) -3a-2b+c=0

(4) -12a+2b=0

In diesem Gleichungssystem arbeiten wir uns am besten von unten nach oben durch:

Aus (4) folgt: b=6a

Einsetzen in (3) ergibt

c-15a=0

Nach c auflösen ergibt

c=15a

Einsetzen in (2) ergibt

d-62a=2

Auflösen nach d ergibt

d=62a+2

Einsetzen von b, c und d in (1) ergibt

-a-6a-15a+62a+2=0

40a+2=0

Aufgelöst nach a ergibt

a=-1/20

Diesen Wert setzen wir in b,c und d ein und bekommen dadurch alle Unbekannten gelöst.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung

Answer 3

[mihisu]

Beispielsweise mit Hilfe des Gauß-Eliminationsverfahrens...

https://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsches_Eliminationsverfahren

Es gibt aber auch noch viele weitere Verfahren, mit denen man ein entsprechendes lineares Gleichungssystem lösen kann.

============

Im konkreten Fall würde ich das beispielsweise so lösen...

[Idee dahinter: Addiere ein geeignetes Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile, sodass dadurch die Anzahl an Unbekannten in dieser anderen Zeile verringert wird.]

$\begin{array}{rrcrcrcrcr}\text{I}_{1}: & -1a & - & 1b & - & 1c & + & d & = & 0 \\ \text{II}_{1}: & -8a & - & 4b & - & 2c & + & d & = & 2 \\ \text{III}_{1}: & -3a & - & 2b & + & c & & & = & 0 \\ \text{IV}_{1}: & -12a & + & 2b & & & & & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrcrcrcrcr}\text{I}_{1}-\text{II}_{1}\rightarrow \text{I}_{2}: & 7a & + & 3b & + & c & & & = & -2 \\ \text{II}_{1}: & -8a & - & 4b & - & 2c & + & d & = & 2 \\ \text{III}_{1}: & -3a & - & 2b & + & c & & & = & 0 \\ \frac{1}{2}\cdot \text{IV}_{1}\rightarrow \text{IV}_{2}: & -6a & + & b & & & & & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrcrcrcrcr}\text{I}_{2}-\text{III}_{1}\rightarrow \text{I}_{3}: & 10a & + & 5b & & & & & = & -2 \\ \text{II}_{1}: & -8a & - & 4b & - & 2c & + & d & = & 2 \\ \text{III}_{1}: & -3a & - & 2b & + & c & & & = & 0 \\ \text{IV}_{2}: & -6a & + & b & & & & & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrcrcrcrcr}\text{I}_{3}-5\cdot \text{IV}_{2}\rightarrow \text{I}_{4}: & 40a & & & & & & & = & -2 \\ \text{II}_{1}: & -8a & - & 4b & - & 2c & + & d & = & 2 \\ \text{III}_{1}: & -3a & - & 2b & + & c & & & = & 0 \\ \text{IV}_{2}: & -6a & + & b & & & & & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrcrcrcrcr}\frac{1}{40}\cdot \text{I}_{4}\rightarrow \text{I}_{5}: & a & & & & & & & = & -\frac{1}{20} \\ \text{II}_{1}: & -8a & - & 4b & - & 2c & + & d & = & 2 \\ \text{III}_{1}: & -3a & - & 2b & + & c & & & = & 0 \\ \text{IV}_{2}: & -6a & + & b & & & & & = & 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrrcrcrcr}\text{I}_{5}: & a & & & & & & = & -\frac{1}{20} \\ \text{II}_{1}+8\cdot \text{I}_5\rightarrow\text{II}_2: & & -4b & - & 2c & + & d & = & \frac{8}{5} \\ \text{III}_{1}+3\cdot \text{I}_{5}\rightarrow\text{III}_{2}: & & -2b & + & c & & & = & -\frac{3}{20} \\ \text{IV}_{2}+6\cdot \text{I}_5\rightarrow \text{IV}_{3}: & & b & & & & & = & -\frac{3}{10} \end{array}$

$\begin{array}{rrrrcrcr}\text{I}_{5}: & a & & & & & = & -\frac{1}{20} \\ \text{II}_{2}+4\cdot \text{IV}_{3}\rightarrow\text{II}_{3}: & & & -2c & + & d & = & \frac{2}{5} \\ \text{III}_{2}+2\cdot \text{IV}_{3}\rightarrow\text{III}_{3}: & & & c & & & = & -\frac{3}{4} \\ \text{IV}_{3}: & & b & & & & = & -\frac{3}{10} \end{array}$

$\begin{array}{rrrrrcr}\text{I}_{5}: & a & & & & = & -\frac{1}{20} \\ \text{II}_{3}+2\cdot \text{III}_{3}\rightarrow\text{II}_{4}: & & & & d & = & -\frac{11}{10} \\ \text{III}_{3}: & & & c & & = & -\frac{3}{4} \\ \text{IV}_{3}: & & b & & & = & -\frac{3}{10} \end{array}$

Ergebnis:

$a=-\frac{1}{20},\quad b=-\frac{3}{10},\quad c=-\frac{3}{4},\quad d=-\frac{11}{10}$

Comments

[mihisu]

Ich bezweifle übrigens stark, dass das Gleichungssystem richtig aufgestellt worden ist. Wie lautet denn der Ansatz für den Funktionsterm?

Vermutlich soll der Ansatz f(x) = a x³ + b x² + c x + d und dementsprechend dann auch f′(x) = 3 a x² + 2 b x + c sein. Dann wäre aber das entsprechende Gleichungssystem eher...

-1a + 1b - 1c + d = 0
-8a + 4b - 2c + d = 2
3a - 2b + c = 0
12a - 4b + c = 0

Oder, wenn vermutlich in der letzten Zeile eher f′′(-2) statt f′(-2) stehen sollte...

-1a + 1b - 1c + d = 0
-8a + 4b - 2c + d = 2
3a - 2b + c = 0
-12a + 2b = 0

Jedenfalls scheinen dann bei dir einige Vorzeichen durcheinander gekommen zu sein.

[AusMeinemAlltag]

@mihisu

Der Meinung bin ich auch, hat mich auch gewundert.