Mathe LK Q1 - Funktionsscahren und Ortskurve?

Hallo, ich habe eine Frage zur Aufgabe 7.

Ich habe zwar rausgefunden, dass die Extremstelle bei x=((2k)^1/2)/2 (k ist nicht 0 oder 1/3) liegen und die Wendestelle bei x=0 v x=((2/3)^1/2)/2 liegen. Die Ortskurve des Minimums lautet y=-1/2*x^2 (0<k<1/3).

Zur c habe ich eine Frage. Wieso hat das Verhaeltnis keine Abhaengigkeit von k? Liegt es daran, dass man die Ortskurve mit einer fest gegebenen Wendepunkt teilt?

Danke!

Answer 1

[Halbrecht]

Als Wendestelle finde ich etwas anderes als du , und zwar mit k unter einer Wurzel

fk''(x) = 12x² - 2k

x² = 2/12 * k 

x = wurz( 1/6 * k ) 

.

Damit kürzt sich das k ( bei xE auch unter der Wurzel ) weg 

Answer 2

[SeifenkistenBOB]

Die Ortskurve des Minimums ist leider nicht korrekt. Das lässt sich leicht durch Einsetzen von Werten überprüfen. Bspw. für k=4 ist ein Tiefpunkt x=sqrt(2). Setzt man diesen Punkt in die ursprüngliche Funktion f_k ein muss das gleiche herauskommen, wie beim Einsetzen in die Ortslinie.

f_k(sqrt(2)) ≠ y(sqrt(2))
-4 ≠ -1

Bestimmung der Ortslinie:

Zunächst bestimmt man die Extremstellen der Funktion f_k, also die Nullstellen der ersten Ableitung. Dies ergibt: x1 = 0 und

$x_{2,3}=\pm\sqrt{\frac{k}{2}}\ \ \ \forall k>0$

Wie du schon richtig herausgefunden hast, sind x2 und x3 die Tiefpunkte. Wir können die Gesamtheit aller echt positiven (x2) und negativen (x3) Extremstellen jeweils als Funktion von k auffassen.

$x_2\left(k>0\right)=\sqrt{\frac{k}{2}}\ \ \$

Anstatt wie sonst, eine Extremstelle in die Funktion f_k einzusetzen, um den Wert an dieser einen Extremstelle zu finden, setzen wir nun eine Funktion der Extremstellen in unsere Funktion f_k ein, um alle Werte der Extremstellen (=Ortslinie) zu finden.

$f\left(x_2\left(k\right)\right)=x_2\left(k\right)^4-k\cdot x_2\left(k\right)^2$ $f\left(x_2\left(k\right)\right)=\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right)^4-k\cdot\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right)^2=\frac{k^2}{4}-\frac{k^2}{2}=-\frac{k^2}{4}$

Eigentlich müsste man das nun auch mit x3 wiederholen. Da wir den negativen Wurzelausdruck mit geraden Exponenten potenzieren, kommt für x3 genau dasselbe Ergebnis heraus wie für x2.

Nun lässt sich diese von k abhängige Funktion f(x2(k)) schlecht in unser x-y-Koordinatensystem zeichnen. Daher müssen wir das k durch einen Ausdruck mit x ersetzen:

Wir formen unsere Gleichung für die Extremstelle x2 und x3 nach k um und erhalten

$k=2\cdot\left(x_2\right)^2=2\cdot\left(x_3\right)^2=2\cdot x^2$

In der von k abhängigen Ortslinie (nennen wir sie g(k))

$g\left(k\right)=f\left(x_2\left(k\right)\right)=-\frac{k^2}{4}$

wird nun das k durch den obigen Ausdruck ersetzt und wir erhalten die Ortslinie in Abhängigkeit von x.

$g\left(x\right)=-\frac{\left(2x^2\right)^2}{4}=-x^4$

Zu Aufgabenteil c):

Die Wendestellen (2. Abl. null setzen) sind ebenso von k abhängig wie die Extremstellen. Teilt man Extremstelle durch Wendestelle oder andersherum, so kürzt sich das k weg und es bleibt eine Konstante. Das bedeutet im Kontext: Wenn wir für alle k die Extremwerte kennen, dann können wir (sofern die Konstante bekannt ist) ganz leicht auch die Wendepunkte bestimmen (und andersherum), ohne dafür das Prozedere mit der Ableitung berechnen zu müssen.

Comments

[Haybfje]

Danke!