Funktionsschar ln(x)?
Für a > 0 ist die Funktionenschar fa gegeben durch fa(x) = xIn(x) - ax
Durch einen Punkt P(u| fi(u)) auf dem Graphen von fi (also a = 1) mit
u > 1 wird eine Tangente t an den Graphen von fi gelegt. Diese Tangente schneidet die beiden Koordinatenachsen in einem Dreieck. Fertigen Sie eine Skizze zur beschriebenen Situation an. Geben Sie einen Term in Abhängigkeit von Bestimite sie intere des ni ascheibendue, dasser Ficheninate lässt.
Dreiecks minimal wird und bestimmen sie den minimalen Flächeninhalt.
Lg
2 Antworten
Tangentengleichung von f(x) am Punkt x = u mit a = 1:
t(x) = f'(u)*(x-u) + f(u)
f'(x) = ln(x)
t(x) = ln(u)*(x-u) + u*ln(u) - u
t(x) = x*ln(u) - u
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(i) t(0) = -u
(ii) Nullstelle von t(x) bei x = u/ln(u)
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Fläche Dreieck F(u) = |(i)| * (ii) * 1/2
F(u) = u²/ln(u) * 1/2
Minimum F(u) suchen:
Der Faktor 1/2 kann dabei ignoriert werden:
F'(u) = u*(2ln(u) - 1) / ln²(u)
F'(u) = 0 für u = √e
Das ist ein Minimum, denn die Ableitung in der Umgebung wechselt von - nach +
F'( √(e)-eps ) < 0
F'( √(e)+eps ) > 0
Tangente ist die erste Ableitung, daraus Dreieckflächenfunktion bestimmen und wieder per 1. Ableitung Minimum
Und wie genau stelle ich die tangente und dreiecksflächenfunktion auf?