Mathe Hilfe?bitte?
Nach Umstellung im Produktionsgang eines Werkstücke vermutet der Hersteller, den Ausschssanteil auf höchstens 3% reduziert zu haben. Diese Vermutung soll an 100 Werkstücken überprüft werden.
a) Nennen Sie die Nullhypothese und die Alternative. Welcher Test wird verwendet?
b) Geben Sie den Annahmebereich für das Signifikanzniveau 5% an. Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit der Ausschussanteil 4% (5%;6%) beträgt?
Hypothesentest Fehler 1.Art und 2.Art
2 Antworten
Hallo,
es handelt sich um einen einseitigen Hypothesentest, da der Ausschußanteil ja auch ruhig weniger als 3 % betragen darf, ohne daß dies an der Annahme, daß er höchstens 3 % beträgt, etwas ändern würde.
Nun könnte man natürlich nachprüfen, ob sich in der Stichprobe mehr als 3 defekte Werkstücke befinden. Damit wäre aber noch nichts bewiesen. Es handelt sich schließlich nur um eine zufällig ausgewählte Stichprobe.
Angenommen, der Ausschußanteil betrüge genau 3 % und es gäbe insgesamt 100.000 Werkstücke. Bei 3 % wären das 3000 defekte.
Würdest Du nun aber zufällig 100 Werkstücke auswählen, könnte es ja sein, daß Du zufällig mehr als 3 von den 3000 defekten Werkstücken erwischst. Es könnten ja auch 5 sein. Trotzdem wäre die Annahme - höchstens 3 % Ausschuß - korrekt.
Hier kommen nun die Fehler 1. und 2. Art ins Spiel. Den Fehler 1. Art nennt man auch Produzentenrisiko. Aufgrund einer Stichprobe mit einem zufallsbedingt höheren Ausschußanteil als dem der Gesamtmenge wird die Nullhypothese - hier: der Ausschußanteil beträgt höchstens 3 % - verworfen, obwohl sie eigentlich korrekt ist. Es sind also unter den 100.000 Werkstücken tatsächlich nicht mehr als 3000 defekte, aber blöderweise stecken fünf von denen in der Stichprobe.
Der Fehler 2. Art ist das Konsumentenrisiko. Unter den 100.000 Werkstücken sind 4000 defekte - der Ausschußanteil beträgt also 4 % - es landen aber nur zwei von ihnen in der Stichprobe. Der Produzent kann seine Behauptung also aufrechterhalten, obwohl sie falsch ist, und der Käufer hat das Nachsehen.
Einen Fehler 1. Art kann man minimieren, indem man den Toleranzbereich möglichst groß wählt. Man akzeptiert etwa statt der 3 erwarteten defekten Werkstücke unter den 100 vielleicht zehn und verbucht das unter dummem Zufall.
Dieser Zufall, daß sich unter den 100 ausgewählten Stücken gleich zehn von den 3000 befinden, wäre allerdings verschwindend gering. Deswegen wählt man einen Toleranzbereich, der noch gewisse Abweichungen zuläßt, aber Abweichungen ausschließt, die sehr unwahrscheinlich sind. Hier haben wir es mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % zu tun, es wird also jede Abweichung nach oben toleriert, die zu 95 % Wahrscheinlichkeit eintreffen kann.
Um den Fehler zweiter Art zu minimieren, müßte man den Toleranzbereich möglichst klein wählen, so daß man nur sehr geringe Abweichungen vom Erwartungswert toleriert. Das würde aber den Fehler 1. Art wiederum wahrscheinlicher machen. Die 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit hier sind also ein Kompromiß zwischen Produzenten- und Konsumentenrisiko.
Im vorliegenden Fall ist die Frage also, welche Abweichung vom Erwartungswert 3 sind zu höchstens 95 % möglich? Dazu berechnet man zunächst die Standardabweichung. Da hier von einer binomialverteilten Zufallsgröße ausgegangen werden kann, ist die Standardabweichung die Wurzel aus (3*0,97), also die Wurzel aus Erwartungswert mal Gegenwahrscheinlichkeit. Sie beträgt hier 1,706. Wir können die Binomialverteilung hier durch eine Standardnormalverteilung annähern. Für diese gibt es Tabellen, in denen man ablesen kann, wie viele Standardabweichungen nach oben etwa zu bis zu 95 % Wahrscheinlichkeit noch möglich sind. Hier wären das 1,65. 1,65*1,706=2,8. Eine Abweichung von 2,8 Werkstücken nach oben von den drei zu erwartenden läge hier also noch im Toleranzbereich. Da die Werkstücke in ganzen Zahlen vorkommen und die 3 den Toleranzbereich schon überschreitet, müßte man sagen: Finden sich bis zu 5 defekte Werkstücke in der Stichprobe, läßt sich das noch als Zufall abtun und die Nullhypothese wird beibehalten. Sind es 6 oder mehr, darf der Produzent nicht mehr behaupten, daß höchsten 3 % der Werkstücke Ausschuß sind. In diesem Fall würde die Nullhypothese verworfen.
Würden sich sechs finden, gäbe es aber insgesamt nicht mehr als 3 % Ausschuß, hätte der Produzent Pech gehabt, Fehler 1. Art.
Würden sich 5 finden, die noch im Toleranzbereich liegen, wäre der Ausschußanteil aber höher als 3 %, hätte der Käufer Pech gehabt, Fehler 2. Art.
Herzliche Grüße,
Willy
die Größe des Betafehlers finde ich aber nicht , oder überlese ich was ?
Was gezeigt werden soll kommt in H1
Du kannst natürlich auch die Statistikfunktion Deines Rechners nutzen, indem Du die kumulierte Binomialverteilung aufrufst und prüfst, ab welchem k bei n=100 und p=0,03 das Ergebnis über 0,95 steigt. Das wäre bei k=6 der Fall, welches dann bereits außerhalb des Toleranzbereichs läge. k=5 wäre noch drin.