Mathe: Graph einer Funktion verschieben.....
Hi also eigentlich bin ich ziemlich gut in mathe, aber jetzt versteh ich etwas überhaupt nicht. Wir behandeln momentan kubische funktionen und heute hatten wir wie sich der graph verändert, wenn man aus f(x)=x^3 die funktion y=f(x)=(x+1)^3 macht. Laut meinem mathelehrer verschiebt sich der graph nach links und das ist anscheinend auch richtig, aber ich versteh absolut nicht warum nach links und nicht nach rechts. Der lehrer hat das nur total kompliziert erklärt und ich hoffe mir kann hier jemand helfen :)
8 Antworten
A. Einheiltiche Technik zur Erstellung der neuen Funktionsgleichung nach Substitution:
Sei x' der x-Wert der verschobenen Funktion, also
x' = x + 3 ⇔ x = x' -3
Ersetzen von x so, dass eine Funktion y = f(x') entsteht:
y = x³ = (x' -3)³.
...
Bei einer Verschiebungen in y-Richtung um +3 wäre das genau anderes herum:
Sei y' der y-Wert der verschobenen Funktion, also
y' = y + 3
Ersetzen von y so, dass eine Funktion y' = f(x) entsteht:
y' = y +3 = x³ + 3
B. Erklärung:
Die x-Veränderung kommt vor der Funktion, d.h. bei Verschiebungen in x-Richtung hat die Funktion den Wert, den sie bei der unverschobenen Funktion erst hätte, wenn x schon um 3 größer wäre. Der y-Wert kommt also "verfrüht", und der "verfrühte" Graph erscheint nach links verschoben, obwohl er einen nach rechts verschobenen x-Wert abbildet (das ist "gewöhungsbedürftig").
Die y-Veränderung kommt nach der Funktion, d.h. erst wird der x-Wert "ganz normal" einem Funktionswert zugeordnet, und der wird dann "nachträglich" verschoben. Der y-Wert und damit der Graph insgesamt erscheinen nach oben verschobenen (das ist eher "wie erwartet").
Eine Parabel zu verschieben, das geht in zwei Richtungen. In Richtung y ist es einfach. Wenn du eine Parabel x² hast und verschiebst sie um +2 in y-Richtung erhältst du
y = x² + 2.
Bei Verschiebung in x-Richtung ist es komplizierter. Aber wenn ihr das in der Schule schon gehabt hat, musst du es ja nicht nochmal extra beweisen, sondern es dir nur mal klarmachen. Stell dir also vor, du schiebst um 2 nach rechts.und glaubst, dass das Vorzeichen umgedreht werden muss.
Dann muss ja für y genau Null berauskommen. Wenn du nach rechts geschoben hast,
ist x = + 2. Gucken wir also mal.
Wegen y = (x + a)² haben wir bei Einsetzen von x und y
0 = (2 + a)².
Das funktioniert nur, wenn a = - 2 ist, sonst kommt ja y = 0 nicht heraus.
a war aber genau die Verschiebegröße. Wenn diese -2 ist, hat sie das negative Vorzeichen von 2.
Umgekehrt genauso. Wenn du um 2 nach links schiebst (das ist -2), funktioniert es nur, wenn die Verschiebegröße +2 ist. Der x-Wert ist also bei Verschiebung immer umzudrehen, der y-Wert nicht.
Da wäre aber Annasmile14 eine sehr gute Antwort entgangen!
Merk dir einen Punkt vom ersten Graph, zum Beispiel den Punkt bei x=2
Beim 2. neuen Graph liegt derselbe Punkt bei x=1, denn wegen (x+1) ist (1+1)=2
Das ist ein bisschen verwirrend, aber du setzt für x nicht x+1 ein, sondern x-1.
Also y=x^3 und x'=x-1 (umstellen) -> x=x'+1 und dann setzt du für x ein
x' ist sozusagne das neue x
deswegen bei (x+1)^3 auch nach links, weil das "alte" x ja eigentlich mit -1 verrechnet wurde.
Man muss sich immer eine bestimmte (feste) Stelle der Funktion angucken. Angenommen wir wollen bei beiden Funktionen eine Nullstelle betrachten, dann müssen wir ja bei der ersten Funktion x=0 setzen, bei der zweiten müssen wir aber x=-1 setzen, damit das Ergebnis Null ist.
Die zweite Funktion ist also um -1 "nach rechts" verschoben, was das gleiche ist, wie um 1 nach links verschoben.
Du musst dir immer angucken, welche Zahl du einsetzten müsstest, um sozusagen wieder auf die ursprüngliche Funktion zu kommen.
Also, wärt ihr alle angemeldet gewesen, als ich meine Antwort gestartet habe, hätte ich mich sogleich vom Acker gemacht. Zu dumm, dass man nicht sieht, wer online kommt, während man selber schreibt.