Mathe geringster Abstand zweier Funktionen ?
Hallo. Ich habe eine Frage zu einer Mathe Aufgabe zu der ich leider nirgend wo eine passende Lösung oder einen Rechen weg finde. Und zwar sind zwei Funktionen geben f(x)=x^2-1 und g(x)=-x^2+6x-8 und ich soll den minimalen Abstand der beiden Funktionen berechnen. Kann mir einer vlt sagen wie das funktioniert ?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Nehmen wir die Punkte A=(a,f(a)) und B=(b,g(b)). Dann wollen wir die Distanz A-B minimieren. Wir suchen also das Minimum der Zielfunktion Z=(a-b)^2+(f(a)-g(b))^2. Das tun wir, indem wir b mal festsetzen, Z nach a ableiten und das ganze gleich 0 setzen. Das selbe tun wir nun für die Variable b. Wenn beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind, haben wir a und b gefunden, für die Z extremal wird. Kurz, löse das Gleichungssystem:
dZ/da=0
dZ/db=0.
Wenn wir die beiden Graphen betrachten, sehen wir, dass die gefunden Werte ein Minimum liefern.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wirklich minimaler Abstand der Graphen oder nur zweier übereinander liegender Punkte? (dafür Antwort von Rubezahl2000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Minimaler Abstand. Kenn das sonst auch nur wenn noch eine gerade zusätzlich gegeben ist
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rubezahl2000/1444749506_nmmslarge.jpg?v=1444749506000)
Differenz-Funktion d=f-g bilden und davon das Minimum ausrechnen
d(x) = 2x²-6x+7
ableiten, und Nullstelle der Ableitung berechnen.
=> x-Wert der Stelle des geringsten Abstands
d(x) an dieser Stelle x ist dann der kleinste Abstand von f und g.