Weil "Menge von Mengen" komisch tönt, nennt man das eine "Familie" von Mengen. Ist nur ein anderer Begriff.

Der Begriff Indexmenge ist mehr oder weniger selbsterklärend. Die Index durchläuft alle Elemente dieser Menge. Normalerweise ist das eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, (z.B. die geraden Zahlen oder 1 bis 10 etc.) aber auch um andere Mengen wie Q handeln.

Nehmen wir an, wir haben die Familie von Mengen S1={5,8,10}, S2={3,8,2} und S3={3,1,5}. Die passende Indexmenge ist I={1,2,3}.

Damit können wir die Vereinigung bilden, geschrieben: (das grosse U), darunter (i Element von i) und rechts vom U (S mit tiefgestelltem i) = S1 U S2 U S3 = {1,2,3,5,8,10}.

Nehmen wir die Punkte A=(a,f(a)) und B=(b,g(b)). Dann wollen wir die Distanz A-B minimieren. Wir suchen also das Minimum der Zielfunktion Z=(a-b)^2+(f(a)-g(b))^2. Das tun wir, indem wir b mal festsetzen, Z nach a ableiten und das ganze gleich 0 setzen. Das selbe tun wir nun für die Variable b. Wenn beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind, haben wir a und b gefunden, für die Z extremal wird. Kurz, löse das Gleichungssystem:

dZ/da=0

dZ/db=0.

Wenn wir die beiden Graphen betrachten, sehen wir, dass die gefunden Werte ein Minimum liefern.