Mathe: Folgen&Reihen: Kartenhaus-Problem
Hallo zusammen. Ich muss eine Aufgabe meiner Klasse vorstellen und dieser MiniVortrag wird auch noch bewertet. Aber zuerst mal zu der Aufgabe:
1.) Ein Kartenhaus wird nach untenstehendem Schema gebaut. ( Zuunterst liegen keine Karten.)
a) Wieviele Karten braucht es für ein 8-Stöckiges (n-stöckiges) Kartenhaus?
b) Wieviele vollständige Stockwerke könnte man mit 1000 Karten bauen?
4 Antworten
Wenn du dir das Kartenhaus anschaust, wirst du bemerken, dass man für das n-te Stockwerk 3n-1 Karten braucht.
Denn es sind ja pro Reihe zwei Karten für jedes Λ und dann noch je eine weniger, als es Λ gibt, die quer draufkommt. Also 2n+(n-1) = 3n-1 pro Reihe!
Jetzt werden die einzelnen Reihen zusammengezählt, in diesem Fall Reihe 1 + Reihe 2 + Reihe 3 + Reihe 4.
Reihe 1: n=1 --> 2 * 1 + (1-1) = 2
Reihe 2: n=2 --> 2 * 2 + (2-1) = 5
usw. Und am Ende wird das alles addiert.
In diesem Fall (4 Stockwerke): 2+5+8+11=26.
(also das n=1 und die 8 stehen direkt über bzw. unter dem Summenzeichen)
dankeschön!
Ich habe das ganze jetzt mit einer AF gemacht. STimmt das? Also wenn man die Karten aufsummiert kann man ja sagen das: 1x3+2x3+3x3+..+nx3 = 3x(1+2+3+..+n)
Dann kann man doch sagen das (1+2+3+..+n) eine AF ist mit a1 = 1 und an= n
Danach mit der Summenformel:
Sn = (n(a1+an))/2
Sn = (n^2+n)/2
D.h -> 3x((n^2+n)/2)
dann noch die unteren karten abziehen.
Sn = 3x((n^2+n)/2) -n
sn=(3xn^2+n)/2
Zählung der (im Bild n = 4) Stockwerke von unten nach oben mit k = 1,...,n
Die Stockwerke lassen sich überschneidungsfrei so aufteilen, dass zu je einem Stockwerk
- n-k auf die Spitze gestelle gleichseitige 3ecke sowie
- 2 äußere Karten gehören,
also insgesamt 3(n-k)+2 = 3n -3k +2 Karten.
Für k = 1,...,n ist die Anzahl der Karten insgesamt also:
s = ∑ 3n -3k +2 =
3 ∑ n - 3 ∑ k + 2 ∑ 1 =
Gauß'sche Summen Formel ("kleiner Gauß", s. z.B. Wikipedia) für ∑ k :
3n² - 3n(n+1)/2 + 2n =
3n² - 3n²/2 - 3n/2 + 2n =
3n²/2 +n/2 = (3n+1)n/2;
das Kartenhaus auf dem Bild hat s = 13 * 4 / 2 = 26 Karten;
(Alternative zum Nachzählen:) Wenn je ein Summand der folgenden Summe nur parallele Karten enthält, sind es
10 + 10 + 6 = 26 Karten.
Formel für s nach n auflösen:
3n² + n - 2s = 0;
Mitternachtsformel:
n1,2 = ( -1 ± √(1 + 24s) ) / 6;
die negative Lösung ist ohne Bedeutung, also:
n = ( √(1 + 24s) -1 ) / 6;
Probe: Einsetzen dieser Formel für n in die obige Formel für s ergibt s (das durfte die Maschine machen).
n = 8 ⇒ s = 25 * 8/2 = 100;
ein 8stöckiges Kartenhaus benötigt 100 Karten.
. . .
s = 1000 ⇒
n = ( √(1 + 24s) -1 ) / 6 =
( √(1 + 24000) -1 ) / 6 = 25,6...
mit 1000 Karten lässt sich nach Schema ein 25stöckiges vollständiges Kartenhaus bauen, das aber nur
s = 76 * 25 / 2 = 950 Karten
benötigt; ein 26stöckiges benötigt aber
s = 79 * 26 / 2 = 1027
Karten.
Unterste Reihe: 42 + 2te reihe: 33 +3te reihe `: 23 +4te rihe: 13 ___________________
also allgemein: n: maximale Anzahl an stockwerken 3(n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+...)-n also die 3 steht für alle 3 seiten des dreiecks, die grundreihe zunächst auch mit 3 angenommen...dann deine einzelnen reihen, immer um eins erniedrigt, am schluss noch die untersten karten abziehen: -n....heißt dann also:
2n+3(n-1)+3(n-2)+3(n-3)+...(+3(n-n))
überprüfen für den trivialfall: n=4 ergibt 26 karten 2*4+3(4-1)+3(4-2)+3(4-3)(+4(4-4))=26...passt also
über die summenschreibweise kannst du dir selber gedanken machen :P und mach dir auch jetzt nochmal gedanken über die 1000 karten!
ich habe eine frage dazu. Bin ein bisschen verwirrt. Wofür steht n? Für eine einzelne Karte oder für ein "kleines Dreieck"?
f(x)= 1,5x^2 + 0,5x
Für 8 Stockwerke kommen natürlich noch Stockwerk 5-8 hinzu. "Auf schlau" sieht es übrigens so aus:
8
Σ 3n-1 = 100
n=1