Durch vollständige Induktion beweisen, dass eine Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist?
Hallo zusammen,
Ich stecke gerade bei einer Mathe-Aufgabe (nicht Hausaufgabe!) total fest. Vollständige Induktion ist für mich eigentlich kein Thema bei dem ich jemals Probleme hatte, aber nun habe ich bei einer ganzen Reihe von Aufgaben Schwierigkeiten, bei denen man Eigenschaften von Folgen beweisen muss. Könnte mir jemand dieses konkrete Beispiel erklären, ich hoffe dann die Anderen besser zu verstehen.
Startwert der Folge ist eine positive Zahl a0, die grösser als √5 ist.
weiter sei an+1 := 1/2 (an + 5/(an)) für n € N (bei an+1 und an sollte das n+1 und n natürlich immer tiefgestellt sein, aber ich kann das hier nicht so darstellen)
Wie kann ich durch vollständige Induktion beweisen, dass die Folge an monoton fallend ist und durch √5 nach unten beschränkt?
Und kann mir noch jemand bei ihrem Grenzwert helfen? einfach zur Kontrolle
Vielen herzlichen Dank, ich weiss die Hilfe sehr zu schätzen!
1 Antwort
Voraussetzung: Die Folge (a(n))n sei rekursiv definiert durch
a(1) > sqrt(5), a(n+1) := 1/2 ( a(n) + 5 / a(n) ) für alle natürlichen Zahlen n.
Behauptung: Die Folge (a(n))n ist monoton fallend und nach unten durch sqrt(5) beschränkt.
Beweis: Wir zeigen zunächst durch Induktion:
Für alle natürlichen Zahlen n gilt a(n) >= sqrt(5).
Induktionsanfang: Es ist a(1) > sqrt(5) >= sqrt(5) nach Voraussetzung.
Induktionsvoraussetzung: Sei N eine beliebige, aber fest gewählte, natürliche Zahl. Für dieses N gelte a(N) >= sqrt(5). Dann ist insbesondere auch a(N) > 0.
Induktionsschluss: Es ist
a(n+1) = ( a(n)² + 5 ) / ( 2a(n) ) =
( a(n)² - 2sqrt(5) a(n) + sqrt(5)² + 2sqrt(5)a(n) ) / ( 2a(n) ) =
( ( a(n) - sqrt(5) )² + 2sqrt(5)a(n) ) / ( 2a(n) ) =
( a(n) - sqrt(5) )² / ( 2a(n) ) + 2sqrt(5)a(n) / ( 2a(n) ) =
( a(n) - sqrt(5) )² / ( 2a(n) ) + sqrt(5) >= sqrt(5).
Die Folge ist also nach unten durch sqrt(5) beschränkt.
Nach der Rekursionsgleichung gilt
a(n+1) = a(n) / 2 + 5 / ( 2a(n) ) =
a(n) ( 1/2 + 1/2 * 5 / a(n)² ).
Wegen der Beschränktheit a(n) >= sqrt(5) gilt 5 / a(n)² <= 5 / 5 = 1. Dann ist
a(n+1) = a(n) ( 1/2 + 1/2 * 5 / a(n)² ) <= a(n) ( 1/2 + 1/2 ) = a(n) für alle natürlichen Zahlen n. Also ist die Folge monoton fallend.
q.e.d.
Kleine formale Nachlässigkeit im Induktionsschluss: Das n im Induktionsschluss muss N sein.