Mathe Erklärung Hilfe Vektoren?

Hello,

hab eine Frage. Wieso muss die Summe der Parameter bei der Ebenengleichung im unten gegebenen Fall kleiner 1 sein, um sich auf der Fläche des Dreiecks zu bewegen?

Ich glaube, ich hab das nicht ganz verstanden leider. Also klar, wenn ich einmal den Vektor AB gehe kann ich den anderen Vektor nicht mehr gehen, denn dann wär ich ja außerhalb des Dreiecks.

Aber mit der Summe das verstehe ich nicht so ganz.

Wäre super, wenn es mir jemand erklären könnte!

Answer 1

[MichaelH77]

Das Dreieck, bzw. das Parallelogramm liegen in der Ebene mit der Parameterform

$\vec{x}=\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}+s\cdot\vec{AS}$

beim Parallelogramm dürfte klar sein, dass sowohl
$0\le r\le1\ und\ \ 0\le s\le1$ gilt

der Punkt P soll auf der Dreiecksseite BS, also der einen Parallelogramm-Diagonalen (in der Zeichnung rot eingezeichnet) liegen.
Für diese Gerade gilt dann
$\vec{OP}=\vec{OB}+t\cdot\vec{BS}\ mit\ 0\le t\le1$

der Richtungsvektor BS kann wie folgt ausgedrückt werden:
$\vec{BS}=\vec{AS}-\vec{AB}$

für einen Punkt P, der sowohl auf dieser Geraden als auch auf der Ebene liegt gilt:
$\ \vec{OB}+t\left(\vec{AS}-\vec{AB}\right)=\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}+s\cdot\vec{AS}$ links die Gerade mit ersetztem Richtungsvektor, rechts die Ebene

diese Vektorgleichung dann umformen:
$\vec{OB}-\ \vec{OA}=r\cdot\vec{AB}+s\cdot\ \vec{AS}-t\cdot\vec{AS}+t\cdot\vec{AB}$

links als Richtungsvektor schreiben, rechts gleiche Vektoren ausklammern:

$\vec{AB}=\left(r+t\right)\cdot\vec{AB}+\left(s-t\right)\cdot\vec{\ AS}$

damit die Gleichung erfüllt ist, muss gelten:
r+t=1 und s-t=0 (damit der Vektor AS "verschwindet")

aus der zweiten Gleichung erhält man t=s, dieses in die erste einsetzen:

s+r=1

damit hat man gezeigt, dass für alle Punkte, die zwischen B und S liegen, r+s=1 gelten muss (beide Parameter müssen zwischen 0 und 1 liegen)

dass dann für die Punkte im Dreieck ABS dann r+s<=1 gilt, dürfte klar sein

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vielleicht gehts auch einfacher, ich wüsste aber nicht wie man r+s=1 (für die Punkte auf der Seite) anders begründen kann

welches Matheniveau ist das? Hochschule?
in BW wird sowas auch im Leistungsfach Mathe nicht (mehr) gemacht

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mir ist noch eine einfachere Begründung eingefallen:
Beweis mittels 2. Strahlensatz (Strahlenschnittpunkt ist B)

Answer 2

[Wechselfreund]

Sieh dir die Ecken des Dreiecks an. Parameter jeweils 1.

Jetzt in die Mitte der roten Dreieckseite. Parameter jeweils 1/2 -> Summe jeweils 1.

Das bleibt auch so, wenn man den Punkt auf der Dreieckseite hin und her schiebt.