Normerhaltung orthogonaler Operatoren?

Hallo, ich weiß bei einer Aufgabe leider nicht weiter.

"Zeige, dass ein orthogonaler Operator U die Norm eines Vektors erhält, dh für jeden Vektor v gilt: norm(Uv) = norm(v)."

Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand einen Ansatz oder eine Lösung hätte.

Answer 1

[evtldocha]

Lies Dir mal das hier zum Thema "Normerhaltung einer orthogonalen Abbildung" durch oder setz' einfach in der Definition der orthogonalen Abbildung die beiden Vektoren, die da vorkommen gleich (u = v).

Kurz: Das ergibt sich aus der Definition einer orthogonalen Abbildung

$||U\left(\vec{v}\right)||^2=<U\left(\vec{v}\right);U\left(\vec{v}\right)>\ =^{\left(Def.\right)}<\vec{v};\vec{v}>\ =||v||^2$

(Ich gehe hier von der Skalarproduktnorm aus, da in Deiner Frage keine Norm explizit genannt ist)