Lokale Extrema auf Parabel?

Für fa(x) = x^2 - (a + 1) x soll man zeigen, dass alle lokalen Extrema auf der Parabel y=-x^2 liegen.

Kann mir bitte jmd helfen? Danke

Answer 1

[Hamburger02]

Bei einer quadratischen Parabel ist das lokale Extremum immer der Scheitelpunkt dieser Parabel.

Als ermitteln wir die Koordinaten des jeweiligen Scheitelpunktes in Abhängigkeit von a. Dazu müssen wir:
fa(x) = x^2 - (a + 1) x
in die Scheitelpunktform:
f(x) = (x - d) + e überführen mit dem Scheitelpunkt S(d/e). (Den in der allgemeinen Form vorkommenden Streckungsfaktor a können wir gleich weglassen, denn der ist bei x^2 = 1.)

Das machen wir mit einer quadratischen Ergänzung, wobei wir (a +1) zunächst als einen festen Faktor k betrachten. Um die Sache übersichtlicher zu gestalten, ersetze ich also (a +1) = k (notwendig ist das nicht)
fa(x) = x^2 - k*x = x^2 - k*x + (k/2)^2 - (k/2)^2
= (x - k/2)^2 - (k/2)^2

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten:
S(k/2 / -(k/2)^2)

Für den Scheitelpunkt gilt also:
x = k/2
y = -(k/2)^2

Nun setzen wir
k/2 = x
in
y = -(k/2)^2
ein und erhalten für die Koordinaten des Scheitelpunktes:
y = -x^2

q.e.d.

Answer 2

[Rhenane]

Du sollst hier die sogenannte "Ortskurve" der Extrempunkte berechnen.

Dazu leitest Du wie gewohnt ab und setzt die Ableitung Null. Dann formst Du aber nicht nach x um, sondern nach a und setzt das in fa(x) ein, sodass Du nur noch x hast, dann den Term noch soweit zusammenfassen wie geht.

Machst Du alles richtig sollte tatsächlich y=-x² rauskommen.

Answer 3

[frankfurt1000]

Da musst du die Ortskurve bestimmen und schauen, ob es die Parabel ist.
Also leiten wir die Funktion erstmal 1x ab: $f_a\left(x\right)=x^2-\left(a+1\right)\cdot x=x^2-\left(ax+x\right)=x^2-ax-x$ Hab ausmultipliziert, damit wir die Produktregel nicht anwenden müssen und jeden Teil einzeln ableiten können. $f'_a\left(x\right)=2x-a-1$ a kannst du einfach als Zahl behandeln.
Dann setzen wir die erste Ableitung null: $f'_a\left(x\right)=0$ $2x-a-1=0$ Und stellen nach x um: $2x-a=1$ $2x=1+a$ $x=\frac{a+1}{2}$ Und wieder oben einsetzen für den y-Wert: $f_a\left(\frac{a+1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\cdot\left(a+1\right)^2$ Hier hätte ich das eigentlich Schritt für Schritt umgeformt bzw. vereinfacht... Aber gutefrage.net sagt: Nö, ist zu viel... Deshalb als Screenshot: http://prntscr.com/v8j8kl
Also hast du den Punkt: $P\left(\frac{a+1}{2};-\frac{1}{4}\cdot\left(a+1\right)^2\right)$ Dann stellst du die x-Koordinate nach dem Parameter um: $x=\frac{a+1}{2}\rightarrow a=2x-1$ Und setzt das in die y-Koordinate ein: $y=-\frac{1}{4}\cdot\left(2x-1+1\right)^2=-\frac{1}{4}\cdot\left(2x\right)^2=-\frac{1}{4}\cdot4x^2=-x^2$

Also yes, liegen auf der Parabel.

Siehe auch:
https://youtu.be/2tbf0-buUnE

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Jahrgangsbester der Abschlussklasse und aktuell Mathestudium

Answer 4

[PhotonX]

Hallo Siri,

weißt du denn, wie man grundsätzlich die Extrempunkte einer Funktion bestimmt?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Comments

[Siri080703]

ja den extrempunkt hab ich schon ausgerechnet

[PhotonX]

@Siri080703

Jetzt hast du schon die vollständige Lösung bekommen und brauchst wahrscheinlich keine weitere Hilfe mehr. :) Falls doch: Wie sieht denn dein Extrempunkt aus?

[MrDog]

Kurze Frage, wenn man die Funktion ableiten möchte, setzt man dann für a zuerst einen Wert ein? Bin grad verwirrt 😂

[PhotonX]

@MrDog

Nein, das a fasst man einfach nicht an und behandelt es, als wäre es eine Konstante (eine feste Zahl).

[MrDog]

@PhotonX

Und die Klammer rechnet man mal -1 richtig? zum vereinfachen meine ich^^

[PhotonX]

@MrDog

Ja, ich denke, du meinst das Richtige. ;)

Answer 5

[Ellejolka]

f ' = 2x-a-1 = 0

nach a auflösen

a = 2x-1

einsezen fürs a in f

dann hast du

x² - (2x-1+1)x

x²-2x² = -x²