Kann das lokale Extrema auch unendlich oder -unendlich sein?
Wenn ich mir die Funktion (-log(x))^-1 im halb offenen Intervall anschaue (1,e] dann ist ja der Grenzwert fuer x->1 -unendlich. Ist das dann auch ein lokales Minimum?
5 Antworten
Nein -unendlich ist kein Element der reelen Zahlen und genau genommen gar keine Zahl.
Das ist auch der Grund warum -unendlich Quasi immer nur als Teil einer Grenzwertbildung vorkommt und nie als wirkliches Ergebnis einer Rechnung.
Ich denke mal, dass du hier auch einen Fehler in deinem Verständnis der Grenzwertbildung hast:
lim x->0 1/x = unendlich
bedeutet nicht 1/0 = unendlich, denn das ist ja bekanntlich nicht definiert.
Es bedeutet nur wenn x beliebig klein wird, wird 1/x beliebig groß, x darf aber niemals 0 werden und 1/x darf niemals unendlich werden.
Extrema sind aber immer bestimmte Punkte einer Funktion und müssen somit im Bildbereich der Funktion liegen, was nach oben genannten Punkten mit -unendlich und + unendlich ja nicht der Fall ist.
Wenn das Intervall (-3,2] die x Werte betrifft dann kommt es auf den y Wert an ob hier überhaupt ein Minimum oder Maximum vorliegt.
waere dann der Gernzwert gegen -3 ein lokales Minimum/Maximum
Ein Grenzwert gegen einen Wert welcher selbst nicht mehr Teil der Definitionsmenge ist kann nie ein lokales Maximum oder Minimum sein!
Da das Intervall (-3,2] ja bei -3 offen ist bedeutet es -3 selbst ist kein Teil des Intervalls mehr, wenn man also den Definitonsbereich seiner Funktion auf dieses Intervall einschränkt kann der Grenzwert gegen -3 kein Maximum oder Minimum sein.
Es kann sich hier höchstens um das Supremum oder Infimum der Bildmenge der Funktion über der Definitionsmenge handeln.
Weil das Intervall allerdings bei 2 abgeschlossen ist kann 2 durchaus ein Globales Maximum oder Minimum der Funktion über dem Intervall sein.
Btw wenn deine Funktion Differenzierbar ist dann muss die Notwendige Bedingung f'(x) = 0 im Punkt erfüllt werden sonst ist es kein lokales Minimum oder Maximum.
Wenn also f'(2) ungleich 0 sein sollte liegt bei f(2) zwar kein lokales Minimum oder Maximum. f(2) kann aber durchaus ein:
- Globales Minimum sein wenn gilt f(2) < f(x) für alle x aus I
- Globales Maximum sein wenn gilt f(2) > f(x) für alle x aus I
I ist in dem Fall dein gegebenes Intervall (-3,2)
Anmerkung dazu ein Grenzwert kann btw ohnehin niemals ein ein Extremwert sein, denn der Extremwert muss immer ein Punkt im Raum sein welcher durch DxB Aufgestellt wird.
Sprich ein Extremwert einer Funktion muss in seiner "x Koordinate" ein Teil der Definitionsmenge sein und in seiner "y Koordinate" ein Teil der Bildmenge der Funktion sein.
Da ein Grenzwert allerdings nur die Annäherung an einen Punkt über die x Achse ist der Entgültige x Wert des Grenzwerts ja nicht definiert.
Als Beispiel sagen wir, wir haben eine Funktion f: [0,2) -> [0,2) f(x) = x
lim x->2 x = 2
Welchen x Wert beschreibt jetzt dieser Grenzwert?
Die Antwort ist der Grenzwert beschreibt hier gar keinen x Wert. Hier steht nur wenn sich x der Zahl 2 annähert dann geht der y Wert der Funktion gegen 2.
Hier steht aber nicht dass die Funktion bei x = 2 den Wert y = 2 annimmt!!
Das ist essentiell für den Grenzwertbegriff und du musst dir anscheinend erst wirklich klar machen, was den der Grenzwert aussagt, denn du verstehst es offensichtlich so dass der obere Grenzwert bedeuet f(2) = 2 oder der Grenzwert
lim x->0 1/x = unendlich bedeutet 1/0 = unendlich was ganz einfach falsch ist! 1/0 bleibt nicht definiert und da hilft auch die Grenzwertbildung nicht drüber hinweg.
Als anschauliches Beispiel:
Die Frage nach einem bestimmten Punkt eines Grenzwertes kommt in etwa folgender Aufgabe gleich:
Du gehst von dir Zuhause zum Nordpol.
Wo bist du?
Diese Frage kannst du nicht beantworten du bist auf dem Weg zum Nordpol und nicht an einem bestimmten ausgezeichneten Punkt. Und genau so Verhält es sich mit dem Grenzwert:
lim x->0 1/x = unendlich
x ist auf dem Weg zu 0 daraus folgt y ist auf dem Weg zu unendlich
Erstens ist es "ein Extremum". "Extrema" ist Mehrzahl.
Man kann schon sagen, dass in einem begrenzten Intervall der kleinste und der größte Wert einer Funktion Minima/Maxima sind.
Allerdings ist -∞ kein Wert. Daher gilt: Die Ergebnismenge ist nach unten unbeschränkt und -∞ ist das uneigentliche Infimum der Ergebnismenge.
Außerdem ist die Funktion für x = 1 nicht definiert, somit kann die Funktion dort keinen Wert haben und somit auch keinen Extremwert.
Erstens ist es "ein Extremum". "Extrema" ist Mehrzahl.
Stimmt!
Man kann schon sagen, dass in einem begrenzten Intervall der kleinste und der größte Wert einer Funktion Minima/Maxima sind.
....
"der kleinste und der größte" sind mehr als einer. Zwei nämlich. Man hätte auch schreiben können "... der kleinste Wert ein Minimum und der größte Wert ein Maximum ist".
ich schätze nein.
denn an der stelle ist die funktion im Prinzip ja gar nicht definiert.
sie ist dort auch gar nicht stetig da grenzwert von links kommend gleich +unendlich
während er von rechts kommend - unendlich ist.
formal:
g(x)=(-log(x))^-1
lim n->0(g(1-n))=+unendlich
lim n->0(g(1+n))=-unendlich
das sind erstens keine wirklichen grenzwerte (ein richtiger grenzwert ist eine fixe zahl, eine konstante und nicht unendlich)
und zum anderen stimmen die grenzwerte nicht überein.
von daher ist die funktion da nicht stetig. und da nicht stetig, auch nicht differenzierbar.
und da nicht differenzierbar(die ableitungsfunktion ist dort übrigens auch nicht stetig), kann auch die extremumbedingung g'(x)=0 nicht erfüllt werden.
usw. und so fort
Insofern tendiere ich zu nein als antwort.
In der Mathematik ist eine Funktion ( lateinisch functio) oder Abbildung eine Beziehung ( Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.
"genau ein Element der anderen Menge"
Da unendlich keine Zahl ist, und damit kein Element der anderen Menge sein kann, kann es auch kein Funktionsergebnis sein!
Ein Extrema ist immer ein Funktionsergebnis!
Ein Extremum ist immer ein Funktionsergebnis! Es gibt nicht ein Extrema, genau wie es nicht ein Antibiotika gibt.
Nein, denn die Funktion muss an der Stelle des Extremums definiert sein.
Wenn man als geschlossene Klammer dann eine Zahl hat bsp. (-3,2] waere dann der Gernzwert gegen -3 ein lokales Minimum/Maximum?