Logarithmus mit großer Basis berechnen?
Hallo,
ich studiere Wirtschaftsinformatik im 2. Semester und soll als Übung diverse Logarithmen berechnen, ohne den Taschenrechner zu benutzen. Das ist auch so weit kein Problem. Erst bei den Aufgaben, bei denen die Basis größer als die zugehörige Zahl ist, wird es für mich nicht mehr ersichtlich.
Als Beispiel: log_32 (6) - log_32 (3)
Ich habe es schon in folgende Form gebracht: log_32 (2). Der Taschenrechner gibt mir als Lösung 1/5 aus, was auch logisch ist. Nur wäre ich selbst nicht auf die 1/5 gekommen. Kann mir jemand dabei helfen, wie man sowas dann rechnet, sobald die Potenz eine Bruchzahl wird?
Vielen Dank im Voraus!
4 Antworten
Beim Logarithmieren fährst du häufig am besten, wenn du dir statt dessen "mal eben" die Potenzform konstruierst.
http://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm
log₃₂ 6 = n <=> 32ⁿ = 6
Das ist nicht gerade ein tolles Beispiel für die Kopfrechnung, das andere auch nicht.
Nimm doch mal log₂ 32 = n <==> 2ⁿ = 32
n = 5
Oder log₄ 256 = 4 wegen 4⁴ = 256
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Übrigens ist log₃₂ 6 ≈ 0,5169...
Ich weiß nicht, was dein Taschenrechner dir da weismachen wollte oder wie du es eingegeben hast.
log_32(6) - log_32(3) = log_32(6/3) = log_32(2) = 1/5,
da 2^5 = 32 <=> 2 = 32^(1/5) <=> log_32(2) = 1/5
Oder:
log_32(2) = log_2(2)/log_2(32) = 1/5,
da 2^5 = 32 <=> log_2(32) = 5.
Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort!
Bisschen Umformen:
32^x = 2
x = 5 eindeutig.
5.Wurzel aus 32 = 2
Wurzelgesetze:
32^(1/5) = 2
Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort!
log_32 (6) - log_32 (3) = ln(6) / ln(32) - ln(3) / ln(32)
ln(6) / ln(32) - ln(3) / ln(32) = (ln(6) - ln(3)) / ln(32)
(ln(6) - ln(3)) / ln(32) = ln(6 / 3) / ln(32)
ln(6 / 3) / ln(32) = ln(2) / ln(32)
2 ^ 5 = 32
Es gilt folgendes :
ln(a) / ln(a ^ b) = 1 / b
(auf die Ausnahmen für a und b werde ich hier nicht eingehen)
ln(2) / ln(32) = ln(2) / ln(2 ^ 5)
ln(2) / ln(2 ^ 5) = 1 / 5
Vielleicht habe ich auch etwas falsch verstenden, denn
log₃₂ 2 = 1/5
Darauf kannst du auch kommen.
Denn bei 32 und 2 weiß man, dass 2⁵ = 32 ist.
Das bedeutet umgekehrt: ⁵√32 = 5
Andere Schreibweise 32^(1/5) = 2
bzw. als Logarithmus log₃₂ 2 = 1/5
Wenn die Basis größer ist als der Logarithmand, haben wir es mit Wurzeln zu tun, im Grunde nichts für Kopfrechnerei.
Noch ein Beispiel: log₁₂₅ 5 = ⅓
³√125 = 5
125^(1/3) = 5