Kann man einen logarithmus zu einer negativen basis ausrechnen?
Überall, wo ich nachgeschaut habe, hieß es, Logarithmen von negativen Zahlen ergeben komplexe zahlen. Das ist einleuchtend. Aber wenn die basis auch negativ ist, müsste das doch gehen. Doch nirgends im Internet habe ich etwas zu Logarithmen mit einer Negativen basis gefunden.
2 Antworten
Naja, das ist eben so definiert, wie lks72 schon sagte.
Denkbar wäre ja der lg zur Basis (-2) von -8 ==> das wäre dann 3. ...XD
Weil: (-2)³ =-8 .
Da müsste aber der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion aus dem Bereich der Ganzen Zahlen sein, und die Funktion wäre dann alternierend Negativ,nicht definiert...nicht definiert, positiv,nicht definiert...nicht definiert,negativ,nicht definiert...
also der nächste (negative) wäre: (-2)^5 = -32 ===> lg zur Basis (-2) von -32 = 5
aber versuch mal lg zur Basis (-2) von -(pi) ... XD
(-2) hoch x = -(pi) ---> wie groß ist x?
Das ist also auf wenige Spezialfälle beschränkt. Auch mit den komplexen Zahlen mit Imaginäranteil { i = Wurzel aus (-1) } ist die Lösungsmenge auf die Rationalen Zahlen als Definitionsmenge beschränkt...
Wäre dann also ne ziemlich "zerhackte" Funktion. Mit sowas kann man nicht rechnen - ergo nichts vernünftiges anfangen....
Da der Wertebereich der Exponentialfunktion R+ ist, ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion, also des natürlichen Logarithmus, eben auch R+. Die allgemeine Potenz a^x ist definiert als a^x := e^(x * ln(a)), und dies geht halt nicht für a<0 wegen der Definitionsmenge von ln.
Und weil es also keine allgemeinen Potenzen a^x mit a<0 gibt, gibt es auch keine Logarithmen mit negativer Basis.