Logarithmus ohne Taschenrechner genau berechnen?
Hallo Leute, wie kann ich lg 2,5 ohne Taschenrechner berechnen ?
3 Antworten
10 = 4·2,5
lg 10 = lg 4 + lg 2,5
1 = 2·lg 2 + lg 2,5
lg 2,5 = 1 - 2·lg 2
Was ist nun aber lg 2? Kannst du im Tafelwerk nachschlagen, ist recht genau 0,30103.
Kannst du dir aber auch so überlegen:
10·lg 2 ~ 3·lg 10
lg 2 ~ 3/10·1
D.h. lg 2,5 ist recht genau 0,4.
Mit der genaueren Zahl für lg 2 oben bekommst du:
lg 2,5 ist ungefähr 1 - 2·0,30103 = 1-0,60206 = 0,39794
Der Logarithmus zur Basis 10 (lg) stellt sozusagen die Frage: "Hoch was muss ich 10 nehmen, um diese Zahl zu erhalten?"
Und genau das musst du dir jetzt überlegen:
10^1 = 10 ---> (viel) zu hoch
10^0 = 1 ---> (viel) zu niedrig
Das heißt, der lg(2,5) muss schonmal zwischen 0 und 1 liegen. Nun musst du wissen, was ein Exponent zwischen 0 und 1 bedeutet. Allgemein gilt:
x^(1/n) ist die n-te Wurzel aus x
--> z.B. ist x^(1/2) die Wurzel aus x oder x^(1/3) die dritte Wurzel aus x
Jetzt kannst du annähern --> für die Wurzeln brauchst du zwangsläufig einen Taschenrechner, wenn du nicht gerade stundenlang händisch Wurzeln ziehen willst (falls du das doch willst, schau mal hier: https://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm ). Bei Wurzeln höheren Grades (die hier zwangsläufig nötig sind), wird es noch viel schwerer.
10^(1/2) = Wurzel(10) = ca. 3,1623 ---> zu hoch
10^(1/3) = dritte Wurzel(10) = ca. 2,1544 ---> zu niedrig
Die Lösung muss sich also im Bereich zwischen (1/3)=0,33 und (1/2)=0,5 befinden. Jetzt brauchst du noch eine Ergänzung zu der Exponentschreibweise von Wurzeln:
x^(m/n) ist die n-te Wurzel aus (x hoch m)
Also gehen wir mal auf in etwa die Mitte des Lösungskorridors ein:
10^(0,4) = 10^(4/10) = zehnte Wurzel aus (10 hoch 4) = ca. 2,5119
---> schon sehr nah dran, aber noch minimal zu hoch. Also noch ein klein wenig runter:
10^(0,39) = 10^(39/100) = hunderste Wurzel aus (10 hoch 39) = ca. 2,4547
---> weiter weg als (0,4). Lösung ist näher an 0,4 als an 0,39
Daher jetzt: 10^(0,398) = 10^(398/1000) = tausendste wurzel aus (10 hoch 398) = 2,5003454 ---> schon sehr nah dran. Du könntest das jetzt unendlich machen und der 2,5 immer näher und näher kommen. Aber folgende Lösung:
lg(2,5) = ca. 0,398
ist schon sehr nah dran.
Meistens sind Logarithmen Irrationale Zahlen. Das bedeutet, dass sie endlos viele Nachkommastellen ohne Persiode haben. Das bedeutet, dass du sie selbst mit Taschenrechner nicht genau ausrechnen kannst.
Es gibt aber Logarithmen, die aufgehen, z. B. 2³ = 8 => log₂ 8 = 3
Hierbei schaust du einfach, wie häufig sich 8 durch 2 teilen lässt.
8:2 = 4, 4:2 = 2, 2:2 = 1 → 3 Mal geteilt
Tja, jetzt versuch mal herauszufinden, wie oft sich 2,5 durch 10 teilen lässt. ^^
lg bedeutet glaube ich, dass die Basis 10 gewählt wurde. Ansonsten müssten man die Basis durch eine kleine Zahl, wie ich es gemacht habe angeben. Dann würde man auch log und nicht lg schreiben. Weiterhin sehr gebräuchlich ist ln. Das ist der Logarithmus zur Basis e, also der Eulerschen Konstanten.
Die Basis spielt für die meisten Schulaufgaben keine Rolle. Man kann 3^x = 4 sowohl mit lg als auch mit ln lösen.
Mit Taschenrechner kommt 0,39 raus, aber wie soll ich da ohne Taschenrechner drauf kommen
Warum durch 10 und nicht wie bei der 8 durch 2 ?