Kurvendiskussion mit xy?
Hey Leute wie funktioniert eine kurvendiskusion wenn in der Funktion x und y ist ?
zb f(x,y)= 4x2 +18x +2y2 -8y -2xy +400
weiß nicht wie ich ableiten soll oder extrempunkte rechnen soll
2 Antworten
Partielle Ableitungen:
Ableitung nach x:
fx(x, y) = 8x + 18 - 2y
Ableitung nach y:
fy(x, y) = 4y - 8 - 2x
Notwendiges Kriterium für lokale Extrema ist das Verschwinden der partiellen Ableitungen; also partielle Ableitungen gleich Null setzen und das Gleichungssystem lösen:
(1) 8x + 18 - 2y = 0
(2) 4y - 8 - 2x = 0
--------------------------
(1) 4x + 9 - y = 0
(2) 8y - 16 - 4x = 0
--------------------------
(1) + (2) 7y - 7 = 0
y = 1
x = -2
Möglicher Kandidat für Extrema:
(-2│1)
Um entscheiden zu können, ob ein Extrema vorliegt, sind die zweiten Ableitungen erforderlich.
fxx(x, y) = 8
fyy(x, y) = 4
fxy(x, y) = fyx(x, y) = -2
Es liegt ein Extremwert vor, wenn an der Stelle (-2│1) gilt:
fxx(-2, 1) * fyy(-2, 1) - (fxy(-2, 1))² > 0
hier:
8 * 4 - (-2)² = 32 - 4 = 28 > 0 (Extremum vorhanden)
Ein Minimum liegt vor, wenn
fxx(-2, 1) > 0
hier:
fxx(-2, 1) = 8 (Minimum vorhanden)
Ein lokales Maximum respektive Minimum kann nur dort sein, wo die Ableitung der Funktion in jede Richtung 0 beträgt.
Dafür wird die Funktion in jede Dimension partiell abgeleitet, also zuerst nach x, wobei y wie eine Konstante gehandhabt wird, dann nach y mit x als Konstante.
Schwieriger ist die zweite Ableitung, davon gibt es vier, eine nach xx, eine nach yy, eine nach xy und eine nach yx, also von der ersten Ableitung dann jeweils sowohl nach x als auch nach y. Daraus wird in der Regel eine Hesse-Matrix gebastelt, mit deren Determinante bestimmt wird, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt.
Mehr dazu hier:
Lokale Extrempunkte bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen online lernen (sofatutor.com)
f(x,y)= 4x2 +18x +2y2 -8y -2xy +400
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, führt zu y = 4x + 9 und 16x + 36 - 8 - 2x = 0 bzw. x = -2 und y = 1
Determinante: 8*2 - (-2*-2) = 16 - 4 = 12 > 0
Das erste Element ist ungleich 0, wir haben also ein Extremum, da Determinante größer 0, Funktionswert ist f(x,y) 4*(-2)² + 18*(-2) +2*1²-8*1 - 2(-2)(1) + 400 = 16 - 36 + 2 - 8 + 4 + 400 = 378.