Krummlinige Koordinatensysteme?
Hallo in die Runde.
um einen Vektor in kartesischen Koordinaten (x,y,z) einwandfrei zu beschreiben brauch man ja die drei Einheitsvektoren e_x,e_y,e_z. Durch jede mögliche Linearkombination kann dann jeder Vektor gebildet werden. Wenn man jetzt Kugelkoordinaten betrachtet mit den Einheitsvektoren e_r, e_theta, e_phi, dann kann ja bekanntlich jeder Ortsvektor bereits beschrieben werden durch die Darstellung
r* e_r, wobei r die Länge des Vektors ist. Meine drei Fragen sind nun folgende:
- wenn doch bereist mithilfe der Darstellung r*e_r jeder beliebige Vektor gebildet werden kann, wofür brauch man dann die anderen beiden Vektoren Einheitsvektoren überhaupt noch?
- Der Vektor e_r hat ja drei Einträge (sin t cos p, sin t sin p, cos t) [t=theta, p=phi]. Ist diese Darstellung von e_r als Vektor jetzt eine kartesische oder eine Kugelkoordinaten Darstellung? So wie ich das verstehe ist eine Darstellung in einem Vektor mit drei Einträgen ja immer auf ein kartesisches Koordinatensystem bezogen.
- in kartesischen Koordinaten sind die Einheitsvektoren ja bekanntlich fest. In krummlinigen Koordinaten sind die Einheitsvektoren ortsabhängig. Was genau hat diese Änderung zur Folge ?
2 Antworten
Wenn man jetzt Kugelkoordinaten betrachtet mit den Einheitsvektoren e_r, e_theta, e_phi
das sind keine Vektoren, sondern Komponenten. Radius, Höhe und Azimut definieren erst zusammen einen Vektor
ja, aber um deren Richtung festzulegen, braucht man die beiden Winkel.
Das ist klar. Aber wofür brauch man überhaupt mehr als einen Vektor. Je nach Wahl von Theta und phi kann ja bereits e_r jeden beliebigen Vektor abbilden
man braucht nur einen Vektor, gegeben durch die Komponenten r, theta, phi. Auch in kartesischen Koordinaten sind x,y,z nur Komponenten, nicht Vektoren. Aber jeder Vektor in D3 braucht drei Komponenten. Übrigens auch in Zylinderkoordinaten.
Und ein Einheitsvektor hat die Länge 1, das ist das einzige, was ihn von anderen Vektoren unterscheidet - in Kugelkoordinaten ist beim Einheitsvektor r=1, in kartesischen ist Wurzel(x^2+y^2+z^2) = 1
Und woher diese komische Schreibweise mit "e_" kommen soll, ist mir schleierhaft.
...das sind keine Vektoren, sondern Komponenten.
Nein, es sind Vektoren, nämlich Einheitsvektoren, deshalb das 'e_'.
ein Bild sagt mehr als tausend Worte: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/ap-2015/ap-2015335eps.png
Die dort eingezeichneten er, etheta und ephi sind zwar Einheitsvektoren, die aber im Gegensatz zu den ex, ey, ez nicht unabhängig voneinander sind - das finde ich etwas irreführend, weil sie nicht das Polarkoordinatensystem aufspannen, so wie ex, ey, ez das kartesische. Statt dessen spannen sie ein mitdrehendes kartesisches auf. Nichts davon hat der FS erwähnt, sonst wäre alles einfacher gewesen. Bezeichnungen und Kürzel sind nun mal nicht kontextfrei.
Das ist völlig richtig. Ein Polarkoordinatensystem ist auch nicht in dem Sinne ein anderes, von einem bestimmten (räumlichen) Kartesischen Koordinatensystem S unabhängiges Koordinatensystem wie ein gegen S gedrehtes kartesisches Koordinatensystem S°, sondern es korrespondiert immer mit einem bestimmten Kartesischen Koordinatensystem, z.B. S: Die positive z- Richtung ist die θ=0- Richtung, die negative die θ=π- Richtung, die positive x- Richtung ist die θ=½π-und-φ=0- Richtung, die positive y- Richtung die θ=½π-und-φ=½π- Richtung.
e_r ist kein global konstanter Einheitsvektor. Wie in krummlinigen Koordinatensystemen üblich, hängt er von den anderen Koordinaten ab. Das hat unter anderem deinen Trugschluss in 1. zur Folge. Nur weil du dem Vektor r die Korrdinaten theta und phi zur Verfügung stellt, kannst du jeden Vektor aus ihm basteln. Und was braucht man, um phi und theta zur verfügung zu stellen? Deren Einehitsvektoren! Deshalb sind implizit immer drei Einheitsvektoren notwendig.
Zu 2. nein, drei Einträge sind nicht auf ein kartesisches Koordinatensystem bezogen. Das ist einfach eine ganz allgemeine Darstellung eines drei Dimmensionalen Vektors bezüglich einer Basis.
Aber wie sehen denn die Einheitsvektoren aus? Das sind ja auch nur Vektoren mit Einträgen sin,cos von phi bzw. Theta. Der Einheitsvektor von theta sagt ja nichts direkt über theta aus. Ich brauche diesen Vektor ja nicht, um einen Vektor darzustellen. Oder wo liegt der Denkfehler?
Naja, wie die Einheitsvektoren aussehen hast du ja schon beschrieben: An jedem Ort anders. Angenommen du befindest dich an einem beliebigen Punkt P innerhalb deines Korrdinatensystems. Der Basisvektor r zeigt dann radial nachaußen. Mit diesem Basisvektor allein, kann also niemals jeder andere beliebige Punkt erreicht werden. Dafür braucht es die anderen Basisvektoren.
Das heißt also der reine ortsvektor lässt sich schon mit dem r Einheitsvektor darstellen, aber wenn ich mich an einem beliebigen Punkt befinde, brauche ich, logischerweise, alle drei um mich in jede Richtung bewegen zu können?
mich hat halt gewundert, dass man ja in kartesischen Koordinaten alle drei Vektor für den ortsvektor brauch und hier nur einen
Ja, wenn du am Nullpunkt bist dann ja. Das ist halt gerade die Konstruktion von Kugelkoordinaten.
Wie ist es denn zu verstehen, dass die Größe r in den Einheitsvektoren gar nicht vorkommt?
r ist ein Betrag. Bei Einheitsvektoren ist er definitionsgemäß gleich 1 und kann damit weggelassen werden, da
1∙X ≡ X,
was immer X auch ist. Auch definitionsgemäß.
Es gibt auch in den kugelkoordinaten einheitsvektoren