Wie berechne ich das Skalarprodukt mit einem unbekannten Vektor und drei Koordinaten?
Hallo, ich weiß, dass wenn ich z.B einen orthogonalen Vektor im zweidimensionalen zu einem Vektor a finden will, ich die beiden Komponente sozusagen nur vertausche und ein Vorzeichen verändere, damit das Skalarprodukt gleich 0 ist. Wie mache ich das aber, wenn ich den ortogonalen Vektor zu einem Vektor mit drei Koordinaten finden will? Danke im Voraus.
5 Antworten
sagen wir mal, du hast in 2d die vektoren (1,2) und (a,b), aka den 2. vektor kennst du nicht und willst du nun bestimmen.
das skalarprodukt gleich 0 ist dann
1a+2b=0
d.h. jeder vektor (a,b) der die gleichung erfüllt, ist orthogonal zu (1,2).
nun gibt es viele möglichkeiten, pssende as und bs zu wählen.
eine davon ist auch dein erwähntes
(2,-1)
as ist aber beileibe nicht der einzige vektor, der in frage kommt; tzumindest vom betrag her.
jeder wie auch immer geartete vielfache davon ist ebenso passend.
nun zu 3d:
sei (1,2,3) dein erster vektor.
sei (a,b,c) dein 2. vektor der orthogonal zum ersten sein soll.
dann ist:
1*a+2*b+3*c=0
einfach irgendwelche zahlen für a und b raussuchen, mit der gleichung c finden.
dann kennste einen von unendlich vielen vektoren, die orthogonal zu (1,2,3) sind.
joa, nun haste also 2 vektoren.
fehlt noch einer, nennen wir ihn (d,e,f).
erfüllen muss der:
1*d+2*e+3*f=0
UND
ad+be+cf=0
LGS mit 3 unbekannten, 2 gleichungen:
bis auf einen parameter bestimmbar.
setzt zum beispiel d=5 und löse nach e und f auf.
zack, haste deine 3 vektoren, die orthogonal zueinander sind.
Du willst es einfacher?
Nachdem du deinen 2. vektor gefunden hast, kannste auch einfach
das kreuzprodukt von vektor 1 und 2 als dritten vektor nehmen.
der ist dann automatisch zu den ersten beiden.
bei 4d und höher gehste analog vor, entweder das lgs mit den skalarprodukten lösen.
kreuzprodukt kannste da nicht mehr nehmen da das nur in 3d definiert ist.
jedenfalls gibt es in 2d schon zu einem vektor unendlich viele andere vektoren die orthogonal dazu sind.
in 2d unterscheiden die sich nur in der läng, in 3d auch in der ausrichtung und orientierung.
kreuzprodukt kannst da lei
Hallo,
im Prinzip genauso, nur daß Du eine der drei Komponenten auf Null setzt.
Aus (1/2/3) z.B. machst Du (-2/1/0)
Welche zwei Komponenten Du vertauschst und welche Du auf Null setzt, ist egal. Wenn eine Komponente bereits Null ist, vertauschst Du die beiden anderen und wechselst bei einem der beiden das Vorzeichen.
Herzliche Grüße,
Willy
oder der eine linearkombination aus beiden ist, ganz genau genommen;
d.h. im prinzip ist jeder vektor in der x2 x3 ebene zu (-1/0/0) orthogonal.
Warum benützt du nicht einfach die (Komponenten-) Definition des Skalarprodukts ?
a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3
Da dies ein unterbestimmtes Gleichungssystem ist, gibt es mehrere (unendlich viele) Lösungen. Nicht verwirren lassen.
Ja. Es ist ja immer wieder seltsam zu sehen, welche Mühe manche haben, eine Lösung zu finden, wenn es viele davon gibt.
Das erscheint mir wie wenn jemand zwar in der Lage ist, eine Stecknadel aus einem Heuhaufen zielgenau herauszufischen, aber hoffnungslos an der Aufgabe scheitert, eine Nadel zu finden, wenn in dem Heuhaufen Tausende davon stecken ....
Hallo,
das Problem in deiner Frage ist, dass im dreidimensionalen Fall es zu einem gegebenen Vektor v den orthogonalen Vektor nicht gibt, sondern eine (bis auf Parallelität) orthogonale Ebene.
Das bedeutet, dass es zwei linear unabhängige, zu v orthgonale Vektoren gibt (die eine Ebene aufspannen, deren Normalenvektor v ist). Diese zwei Vektoren sind auch nicht eindeutig, da sie, beide einer Drehung mit gleichem Winkel unterzogen, die in der Ebene stattfindet, zu v orthogonal bleiben.
Du kannst mit den Koordinaten von v(a;b;c) leicht eine Ebenengleichung einer zu v orthogonalen Ebene aufstellen: ax+by+cz+d=0 ist eine solche Ebene mit Normalenvektor v.
Wählst du in dieser Ebene zwei beliebige Punkte A und B mit A≠B , so ist der Vektor AB zu v orthgonal. Dann musst du noch einen Punkt C der Ebene finden, so dass AC zu AB orthogonal ist. So hast du zwei zu v orthogonale Vektoren bestimmt.
Zu erwähnen sei noch ein Standardverfahren, mit dem aus einer beliebigen Basis eines Vektorraums V mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis konstruiert werden kann. Es ist das Verfahren von Gram-Schmidt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
Das Verfahren lernt man aber erst auf der Uni kennen. (Es sei denn im Mathte-Leistungskurs im ℝ³, falls sich das Programm geändert hat?).
Gruß
Wenn Dein Vektor (a,b,c). lautet und der unbekannte Vektor (x,y,z), dann ist das Skalarprodukt ax+by+cz.
Und was ist wenn ich schon einen Vektor (-1/0/0) habe? Weil einen Nullvektor kann ich ja nicht machen, oder?