Elliptische Koordinaten?
Hallo,
ich habe diese Aufgabe in Bezug auf krummlinige Koordinatensysteme bekommen. Leider habe ich wenig Wissen in Bezug auf diese Systeme. Hat jemand einen Lösungsansatz für a) oder b)? Sonst habe ich auch noch folgende Fragen:
-Wie lauten die Einheitsvektoren?
-Wie heißen meine 3 Parameter in diesem System (zum Beispiel wären es im kartesischen System x,y und z)
-Wie ist diese Ungleichung bei b) gemeint, denn 3<=1 ist doch falsch, oder?
Vielen Dank
2 Antworten
Bei elliptischen Koordinaten an einen gekrümmten Raum zu denken, bringt eher Verwirrung. Elliptische Koordinaten sollte man gedanklich in einem kartesischen Raum belassen. Die Koordinaten (u,v) liegen lediglich auf Hyperbeln und Ellipsen und können in kartesische Koordinaten umgerechnet werden.
elliptisch: (u,v) -> (x,y)
kartesisch: x = cosh(u)cos(v), y = sinh(u)sin(v)
Im dreidimensionalen Raum wird die z-Komponente in unterschiedlicher Weise erweitert, in der Aufgabe linear, d.h. die Hyperbel und Ellipsen auf der xy-Fläche setzen sich parallel in z-Richtung fort.
Auch der Ansatz, mit Vektoren der Form r(u,v,z) wie gewohnt Geraden- oder Ebengleichungen aufzustellen, scheitert an einem geeigneten Basisvektor. Der vermeintliche Basisvektor { cosh(u)cos(v), sinh(u)sin(v), z } ist mathematisch betrachtet ungültig, weil die ersten beiden Komponenten voneinander abhängig sind.
Um mit Vektoren mit elliptischen Koordinaten rechnen zu können, muss man die Vektoren in folgender Form verstehen
r[ f1(u,v), f2(u,v), z ] mit
f1(u,v) = cosh(u)cos(v)
f2(u,v) = sinh(u)sin(v)
Die kartesischen Koordinaten x,y hängen lediglich von den Werten u und v ab. In der Aufgabe stellt man also Tangenten- und Ebenengleichungen mit Vektoren der Form r[ f1(u,v), f2(u,v), z ] auf.
Ich würde das Flächenelement dA mittels der Jacobi-Matrix berechnen, deren Zeilenvektoren dann gerade dr/du und dr/dv sind. Dann ist dA = det J du dv.
Für den Flächeninhalt das Integral über dA in den angegebenen Grenzen berechnen.
wobei die Zeilenvektoren wären nicht dr/du und dr/dv, sondern d(x,y)/du und d(x,y)/dv