Dipolmoment woher kommt das cos(Theta)?
Wie kommt man auf das cos(Theta) in diesem Ausdruck:
Es handelt sich um das Potentialfeld eines Dipols im Ursprung.
Nach meinem Gedankengang lösen sich die Vektoren r und p unter dem Skalarprodukt einfach auf, ohne dass da trigonometrische Funktionen zurück bleiben, oder nicht?
r*p=(p r (cos^2(θ) + cos^2(ϕ) sin^2(θ) + sin^2(θ) sin^2(ϕ))=r*p)
Dadurch kürzt sich dann natürlich das r im Zähler und Nenner raus aber der Cos bleibt mir gerade ein Rätsel. Was übersehe ich?
2 Antworten
Das Skalarprodukt ist r⃗⋅p⃗ = r⋅p⋅cos(ϑ), wobei ϑ der eingeschlossene Winkel ist. Ein (skalares) r kürzt sich dann mit dem r³ im Nenner weg.
Das cos(θ) kommt aus der Winkelbeziehung zwischen den Vektoren r und p.
Der Vektor r ist ein Punktvektor, der vom Ursprung zum Beobachtungspunkt führt. Der Vektor p ist das Dipolmoment, das durch zwei Ladungen gebildet wird, die einen Abstand von d haben.
Die Winkelbeziehung zwischen den Vektoren r und p wird durch den Winkel θ bestimmt.
Wenn wir das Skalarprodukt von r und p berechnen, erhalten wir:
r * p = r_x p_x + r_y p_y + r_z p_z
Die x-, y- und z-Komponenten von r und p können durch die Winkelbeziehung zwischen den Vektoren ausgedrückt werden:
r_x = r * cos(θ) * sin(ϕ)
r_y = r * sin(θ) * sin(ϕ)
r_z = r * cos(ϕ)
Wenn wir diese Ausdrücke in das Skalarprodukt einsetzen, erhalten wir:
r * p = r * cos(θ) * sin(ϕ) * p_x + r * sin(θ) * sin(ϕ) * p_y + r * cos(ϕ) * p_z
Die Terme p_x, p_y und p_z sind die Komponenten des Dipolmoments. Sie sind unabhängig vom Winkel θ.
Die trigonometrischen Funktionen cos(θ) und sin(θ) bestimmen den Winkel zwischen den Vektoren r und p.
Daher ist das cos(θ) im Ausdruck für das Potentialfeld des Dipols ein Maß für die Stärke der Wechselwirkung zwischen dem Dipol und dem Beobachtungspunkt.
Wenn der Beobachtungspunkt in Richtung des Dipolmoments liegt, ist θ = 0 und cos(θ) = 1. In diesem Fall ist die Wechselwirkung zwischen dem Dipol und dem Beobachtungspunkt am stärksten.
Wenn der Beobachtungspunkt senkrecht zum Dipolmoment liegt, ist θ = 90° und cos(θ) = 0. In diesem Fall ist die Wechselwirkung zwischen dem Dipol und dem Beobachtungspunkt am schwächsten.