Kreuzprodukt 2 Dimensionaler Mengen wie berechnen?
Hallo,
kann mir jemand rein rechnerich zeigen wie man von rot auf blau kommt?
auch bei den aufgaben danach verstehe ich nicht genau wie man die kreuzprodukte berechnet..
danke:)
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2 Antworten
Hallo,
mit dem Kreuzprodukt ist hier das kartesische Produkt von Mengen gemeint.
Dass man hier irrtümlicherweise an Vektoren denkt, liegt daran, dass man sich das Intervall (-1,1) als einen Vektor des ℝ² vorstellt. Das ist in dem Zusammenhang nicht gemeint.
Es ist das Produkt zweier eindimensionaler Mengen (zweier Intervalle), nämlich des offenen Intervalls (-1,1), des halboffenen Intervalls (-1,1] oder des geschlossenen Intervalls [-1,1] mit sich selbst.
Das Ergebnis ist eine zweidimensionale Teilmenge des ℝ² :
M₁ ⊂ ℝ², M₂ ⊂ ℝ² und M₃ ⊂ ℝ² .
Wie sehen diese Teilmengen aus?
Nun, x und y variieren zwischen -1 und +1, man erhält also eine quadratische Teilmenge des ℝ² :
Beim Produkt der halboffenen Intervalle fallen zwei farbige Ränder weg (man überlege sich, welche), beim Produkt der offenen Intervalle fallen alle farbigen Ränder weg.
Die Schreibweise in der Aufgabenstellung ist nicht ganz sauber.
Das Kreuzprodukt zweier Mengen M und N ist folgendermaßen definiert:
M x N := { (m,n) | m ∈ M, n ∈ N }
(es sind alle Paare (m,n) mit m aus M und n aus N)
Gilt M = N, dann schreibt man auch
M x M = { (m,n) | m, n ∈ M }
(man kann für m und n auch x und y oder a und b schreiben....)
Man denke z.B. an ℝ x ℝ , den man auch als ℝ² bezeichet.
So bezeichnet man die Menge M x M auch als M².
In der Aufgabe ist die Schreibweise der Mengen Mᵢ nicht ganz sauber.
Man sollte schreiben
M₁ = { (x,y)∈ ℝ² | x,y ∈ (-1,1) } , und nicht
M₁ = { (x,y)∈ ℝ² | (x,y) ∈ (-1,1) }
Warum? Weil (x,y) ein Element aus der Menge (-1,1) x (-1,1) ist und nicht aus (-1,1).
Die Elemente von (-1,1) x (-1,1) sind Paare von Zahlen, ein Element von (-1,1) ist kein Paar, sondern eine Zahl.
Die Unterscheidung (nur eine Klammer weglassen oder nicht...) mag vielleicht als Haarspalterei erscheinen, sie ist aber wichtig.
(Wahrscheinlich ist es ein Flüchtigkeitsfehler des Aufgabenstellers)
Was mit "untersuchen" gemeint ist, ist mir auch nicht so klar. Ich vermute, es ist gemeint zu überlegen "wie die Menge aussieht", und das ist oben im Bild skizziert.
Gruß
P.S. Den ersten Satz habe ich etwas ungeschickt formuliert:
Dass man hier irrtümlicherweise an Vektoren denkt, liegt daran, dass man sich das Intervall (-1,1) als einen Vektor des ℝ² vorstellt.
Damit meinte ich, dass, wenn man (-1,1) sieht, man versucht ist, an einen Vektor
des ℝ² mit den Koordinaten x= -1 und y=1 zu denken.
Es ist aber das offene Intervall (-1,1) = { x∈ ℝ | -1<x<1 } gemeint.
Nach meinem Wissen istdas Kreuzprodukt im R² nicht definiert?!